数学：2025 年浙江中考第 24 题

以 $A$ 为原点，$AB$ 为 $x$ 轴正方向建系。

易得：

$$A(0,0),B(5,0),C\left(\dfrac{32}{5},\dfrac{24}{5}\right),D\left(\dfrac{7}{5},\dfrac{24}{5}\right)$$

因为 $E$ 在 $AD$ 延长线上，不妨设：

$$E\left(\dfrac{7t}{5},\dfrac{24t}{5}\right)$$

因为 $F$ 为 $A$ 关于 $BE$ 的对称点，所以：

$$F=2\left[B+\dfrac{(A-B)\cdot(E-B)}{\lVert E-B\rVert^{2}}\,(E-B)\right]-A=\left( \dfrac{1152t^{2}}{5(25t^{2}-14t+25)}, \dfrac{48t(25-7t)}{5(25t^{2}-14t+25)} \right)$$

因为 $P$ 为 $AC$ 和 $EF$ 的交点，所以：

$$P\left(\dfrac{64t(25t-7)}{5(25t^{2}+50t-39)},\dfrac{48t(25t-7)}{5(25t^{2}+50t-39)} \right)$$

令：

$$f(t)=AP-BP=\dfrac{16t(25t-7)-3\sqrt{(25t^{2}-14t+25)(425t^{2}-494t+169)}}{25t^{2}+50t-39}$$

求导：

$$f'(t)= \frac{ \Bigl( 800t-112-\dfrac{3\bigl[(50t-14)(425t^{2}-494t+169)+(25t^{2}-14t+25)(850t-494)\bigr]} {2\sqrt{(25t^{2}-14t+25)(425t^{2}-494t+169)}} \Bigr)\,(25t^{2}+50t-39)- \Bigl( 400t^{2}-112t-3\sqrt{(25t^{2}-14t+25)(425t^{2}-494t+169)} \Bigr)\,(50t+50)} {\bigl(25t^{2}+50t-39\bigr)^{2}}$$

令 $f'(t)=0$：

$$475t^2-650t+91=0$$

求解：

$$t_1=\dfrac{65-8\sqrt{39}}{95}\approx0.1583,t_2=\dfrac{65+8\sqrt{39}}{95}\approx1.2101$$

代入 $f(t)$：

$$f(t_1)=\frac{44-3\sqrt{39}}{5}\approx5.0530,f(t_2)=\frac{3\sqrt{39}-4}{5}\approx2.9470$$

所以 $AP-BP$ 最小值为：

$$\dfrac{3\sqrt{39}-4}{5}$$