函数与极限

参考资料

• 极限 (数学) - 维基百科
• 连续函数 - 维基百科
• 无穷小量 - 维基百科

引入

极限是 微积分的地基。所有「无穷小」「无穷大」「连续」「导数」「积分」的概念，最终都要回到极限的严格定义。

直观上，极限刻画的是：当自变量「趋近」某个值时，函数值「趋近」一个确定的数。

这里有个微妙之处值得先点明：极限只关心 趋近过程中 函数的走向，跟函数在该点 到底取什么值、甚至取不取值 完全无关。我们研究 $x\to x_0$ 时 $f(x)$ 的极限，用的是 $x_0$ 附近的 去心邻域，把 $x_0$ 这一点本身抠掉。正是这个「抠掉一点」的设计，才让我们能讨论 $\dfrac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处的极限——那里函数根本没定义，可极限照样存在。

数列极限

数列是定义在正整数上的函数，是最简单的极限情形：自变量只能一步步往无穷大走，没有「左右」之分。

$\varepsilon$-$N$ 定义

设数列 $\set{a_n}$，若存在常数 $A$，使得对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N\in\mathbb{N}^+$，当 $n>N$ 时恒有：

$$|a_n-A|<\varepsilon$$

则称 $A$ 为数列 $\set{a_n}$ 的极限，记为：

$$\lim_{n\to\infty}a_n=A$$

tip

这套语言可以翻译成一句大白话：不管你要求多精确（任给一个小数 $\varepsilon$），我总能从某一项 $N$ 往后（要项数足够大），把所有项都摁进 $A$ 的 $\varepsilon$ 误差带里。 $\varepsilon$ 是「挑战」，$N$ 是「应战」——$\varepsilon$ 越小，需要的 $N$ 往往越大，但只要 总能找到，极限就成立。

用定义证极限的套路是 「逆推 $N$」：从要证的 $|a_n-A|<\varepsilon$ 出发，把它放大成一个关于 $n$ 的简单不等式，再反解出 $n$ 应该多大。

例：证 $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{n}{n+1}=1$。对任意 $\varepsilon>0$，

$$\left|\frac{n}{n+1}-1\right|=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{n}<\varepsilon$$

只要 $n>\dfrac{1}{\varepsilon}$ 即可。于是取 $N=\left\lfloor\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rfloor$，当 $n>N$ 时上式成立，故极限为 $1$。这里把 $\dfrac{1}{n+1}$ 放大成 $\dfrac{1}{n}$ 是为了让反解 $n$ 更干净——证明里 放大要适度，放过头会反解不出来。

例：证 $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1$（$a>1$）。记 $\sqrt[n]{a}-1=t_n>0$，则 $a=(1+t_n)^n\ge 1+nt_n$（伯努利不等式），得 $t_n\le\dfrac{a-1}{n}$。对任意 $\varepsilon>0$，取 $N=\left\lfloor\dfrac{a-1}{\varepsilon}\right\rfloor$，当 $n>N$ 时 $|\sqrt[n]{a}-1|=t_n<\varepsilon$。

收敛准则

• 单调有界准则：单调有界数列必有极限。
• 夹逼准则：若 $a_n\le b_n\le c_n$ 且 $\lim a_n=\lim c_n=A$，则 $\lim b_n=A$。
• 柯西收敛准则：$\set{a_n}$ 收敛 $\iff$ 对任意 $\varepsilon>0$，存在 $N$ 使 $\forall m,n>N$ 有 $|a_m-a_n|<\varepsilon$。

单调有界准则的直觉很形象：一个一直往上走（递增）却又被天花板（上界）挡住的数列，没法发散到无穷，也没法来回震荡，只能越挤越紧地逼近某个值——那个值就是极限。它的好处是 不需要事先知道极限是多少 就能断定收敛，这是后面定义 $e$ 的关键。

柯西准则同样不依赖极限值本身：它说收敛等价于「项与项之间最终要无限靠拢」。这把「收敛」从「靠近某个外部的 $A$」改写成了数列 自身的内部性质。

Stolz 定理

Stolz 定理（Stolz–Cesàro Theorem）是「数列版的洛必达」，专治 $\dfrac\infty\infty$ 与 $\dfrac00$ 型的数列极限。$\dfrac\ast\infty$ 型（$\set{b_n}$ 严格单调递增趋于 $+\infty$）的版本是：

$$\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}\quad(\text{右端存在时})$$

把「求和的整体」换成「相邻两项的差」，往往一下子化简。它特别适合处理 带 $\sum$ 或递推累加 的数列极限。

例：$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{1+2+\dots+n}{n^2}$。取 $a_n=\sum_{k=1}^n k$、$b_n=n^2$（严格增趋于 $\infty$），

$$\frac{a_n-a_{n-1}}{b_n-b_{n-1}}=\frac{n}{n^2-(n-1)^2}=\frac{n}{2n-1}\xrightarrow{n\to\infty}\frac{1}{2}$$

故原极限为 $\dfrac12$。它也能证 算术平均收敛：若 $a_n\to A$，则 $\dfrac{a_1+\dots+a_n}{n}\to A$（取 $b_n=n$，差商即 $a_n\to A$）。

典型数列极限

例（$\sqrt[n]{n}\to 1$）：记 $\sqrt[n]{n}=1+t_n$（$t_n>0$），则 $n=(1+t_n)^n\ge\dbinom{n}{2}t_n^2=\dfrac{n(n-1)}{2}t_n^2$，得 $t_n^2\le\dfrac{2}{n-1}\to 0$，故 $t_n\to 0$，即 $\sqrt[n]{n}\to 1$。这里用二项展开取 第三项 来夹（取第二项 $nt_n$ 只能得到 $t_n\le 1$，不够）。

例（$n$ 项根式和）：$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{1^n+2^n+\dots+n^n}$ 介于 $\sqrt[n]{n^n}=n$ 与 $\sqrt[n]{n\cdot n^n}=n\sqrt[n]{n}$ 之间，量级是 $n$；更细地，$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a^n+b^n}=\max(a,b)$（$a,b>0$），因为 $\max\le\sqrt[n]{a^n+b^n}\le\sqrt[n]{2}\max\to\max$。

例（递推单调有界）：设 $a_1=\sqrt{2}$，$a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}$，求 $\lim a_n$。

$$\begin{aligned} \text{有界：}&\ \text{归纳证 }a_n<2.\ a_1<2;\ \text{若 }a_n<2\text{ 则 }a_{n+1}=\sqrt{2+a_n}<\sqrt{4}=2.\\ \text{单调：}&\ a_{n+1}^2-a_n^2=2+a_n-a_n^2=-(a_n-2)(a_n+1)>0\ (\text{因 }0<a_n<2),\ \text{故递增。} \end{aligned}$$

单调递增且有上界 $2$，由单调有界准则极限 $L$ 存在。对递推式两边取极限得 $L=\sqrt{2+L}$，即 $L^2-L-2=0$，解得 $L=2$（舍去负根）。递推数列求极限的标准三步：证有界、证单调、对递推式取极限解方程。

函数极限

$\varepsilon$-$\delta$ 定义

设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域有定义，若存在常数 $A$，使得对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时恒有：

$$|f(x)-A|<\varepsilon$$

则记为：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A$$

跟数列那套是同一个套路，只是把「项数足够大」换成了「$x$ 足够靠近 $x_0$」。条件里的 $0<|x-x_0|$ 就是「去心」——明确排除 $x=x_0$。

例：证 $\lim\limits_{x\to 2}(3x-1)=5$。对任意 $\varepsilon>0$，

$$|(3x-1)-5|=3|x-2|<\varepsilon\iff |x-2|<\frac{\varepsilon}{3}$$

取 $\delta=\dfrac{\varepsilon}{3}$，当 $0<|x-2|<\delta$ 时即有 $|(3x-1)-5|<\varepsilon$。线性函数的 $\delta$ 总能这样「精确」反解出来。

例：证 $\lim\limits_{x\to 1}x^2=1$。难点是 $|x^2-1|=|x+1|\,|x-1|$ 里 $|x+1|$ 不是常数，需 先限定范围再放大。先约定 $|x-1|<1$（即 $0<x<2$），此时 $|x+1|<3$，于是 $|x^2-1|<3|x-1|$。要它 $<\varepsilon$，只需 $|x-1|<\dfrac{\varepsilon}{3}$。综合取 $\delta=\min\!\left(1,\dfrac{\varepsilon}{3}\right)$ 即可。这个「$\min$ 取小」是非线性函数 $\varepsilon$-$\delta$ 证明的标准动作：一个 $\delta$ 用来框住放大系数，另一个用来压误差，取最小让两者都满足。

$x\to\infty$ 的情形

自变量趋于无穷时，把「靠近 $x_0$」换成「$|x|$ 足够大」：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $X>0$，当 $|x|>X$ 时有 $|f(x)-A|<\varepsilon$，记 $\lim\limits_{x\to\infty}f(x)=A$。此时图像有一条 水平渐近线 $y=A$。

单侧极限

$$\lim_{x\to x_0^-}f(x)=A^-,\quad \lim_{x\to x_0^+}f(x)=A^+$$

极限存在的充要条件：左右极限存在且相等。

这条充要条件是判断分段函数、带绝对值函数在分界点极限的常规武器：分别算两侧，对得上才有极限。

Heine 归结原则

Heine 归结原则（Heine's Theorem，又称归结原理）把函数极限和数列极限打通：

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=A\iff \text{对任意收敛于 }x_0\text{ 的数列 }\set{x_n}\,(x_n\ne x_0),\ \lim_{n\to\infty}f(x_n)=A$$

它的用途主要是 反证不存在：只要找到两条趋于 $x_0$ 的不同路径，让 $f(x_n)$ 趋向不同的值，就能断定极限不存在。例如 $\lim\limits_{x\to 0}\sin\dfrac{1}{x}$，取 $x_n=\dfrac{1}{n\pi}$ 得 $0$，取 $x_n=\dfrac{1}{2n\pi+\pi/2}$ 得 $1$，两者不等，故极限不存在。

极限的四则运算

设 $\lim f(x)=A$、$\lim g(x)=B$（同一过程），则：

$$\lim[f\pm g]=A\pm B,\quad \lim[f\cdot g]=A\cdot B,\quad \lim\frac{f}{g}=\frac{A}{B}\,(B\ne 0)$$

由此可推出两条常用结论：常数可以提到极限号外 $\lim[cf]=c\lim f$；以及 $\lim[f]^n=A^n$。

tip

四则运算法则的大前提是 参与运算的每个极限都存在（且分母极限非零）。这一条经常被忽略：像 $\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x}\right)$，不能拆成 $\lim\dfrac{1}{x}-\lim\dfrac{1}{x}$，因为两者都不存在（是 $\infty-\infty$ 型）。遇到「整体有极限、分开没极限」的式子，必须先化简再求极限。

无穷小与无穷大

若 $\lim f(x)=0$，称 $f(x)$ 为该过程下的 无穷小；若 $\lim f(x)=\infty$，称为 无穷大。

注意「无穷小」是一个 趋于零的变量，不是某个很小的固定数；$0$ 是唯一可以当作无穷小的常数。无穷小与无穷大互为倒数关系：非零无穷小取倒数是无穷大，无穷大取倒数是无穷小。

两条贯穿全书的基本事实：

• 极限与无穷小的关系：$\lim f(x)=A\iff f(x)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小。这把「求极限」翻译成「分离出主部 $A$ 加一个零头」。
• 有界量乘无穷小仍是无穷小：例如 $\lim\limits_{x\to 0}x\sin\dfrac{1}{x}=0$，尽管 $\sin\dfrac{1}{x}$ 没有极限，但它有界，乘上无穷小 $x$ 后被压成无穷小。

无穷小的阶

无穷小都趋于 $0$，但「趋于 $0$ 的快慢」不同。设 $\alpha,\beta$ 是同一过程下的无穷小，看比值 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta}$ 的取值：

比值	关系	记号
$\lim=0$	$\alpha$ 是 $\beta$ 的高阶无穷小	$\alpha=o(\beta)$
$\lim=\infty$	$\alpha$ 是 $\beta$ 的低阶无穷小	—
$\lim=c\ne 0$	$\alpha$ 与 $\beta$ 同阶	—
$\lim=1$	$\alpha$ 与 $\beta$ 等价	$\alpha\sim\beta$

特别地，若 $\lim\dfrac{\alpha}{\beta^k}=c\ne 0$，称 $\alpha$ 是关于 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。直觉上「高阶」=「更小」：高阶无穷小在加减中会被同阶或低阶的「吃掉」，这是后面忽略余项的依据。

常用等价无穷小（$x\to 0$）

$$\sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad \arcsin x\sim x,\quad \arctan x\sim x$$ $$1-\cos x\sim\frac{x^2}{2},\quad e^x-1\sim x,\quad a^x-1\sim x\ln a,\quad \ln(1+x)\sim x,\quad (1+x)^a-1\sim ax$$

这些等价式都是泰勒展开取首项的结果，可以从 $\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+\cdots$ 一眼看出。用等价无穷小替换，本质是 在求极限时把复杂函数换成它最简单的同阶替身。

tip

等价无穷小只能用于 乘除，不能直接用于 加减。原因是替换会引入高阶误差 $o(\beta)$：在乘除里这点误差被冲掉，在加减里却可能恰好把主部抵消、让高阶误差「浮上来」决定结果。例如 $\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$ 若把 $\tan x,\sin x$ 都换成 $x$ 会得到错误的 $0$；正确做法是保留到 $x^3$ 项。

无穷大的比较

$x\to+\infty$ 时，常见无穷大的增长速度排序：

$$\ln x\ll x^a\ (a>0)\ll a^x\ (a>1)\ll x!\ll x^x$$

「对数 < 幂 < 指数 < 阶乘 < 幂塔」这条链条在判断未定式、级数敛散时反复用到——分式里谁的阶高，谁就主导极限。

未定式的化归

像 $\dfrac{0}{0}$、$\dfrac{\infty}{\infty}$、$0\cdot\infty$、$\infty-\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 这七种形式，单看记号无法确定结果，称为 未定式（Indeterminate Form）。处理它们的核心是「化归」——把陌生类型转成会算的 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$，再用等价无穷小或洛必达法则。

类型	化归思路
$0\cdot\infty$	把其中一个因子写到分母上，化成 $\dfrac{0}{0}$ 或 $\dfrac{\infty}{\infty}$
$\infty-\infty$	通分、有理化或提取公因子，凑成一个分式
$1^\infty$	取对数：$\lim u^v=e^{\lim v\ln u}$，指数化成 $0\cdot\infty$
$0^0,\ \infty^0$	同样取对数化成 $0\cdot\infty$

tip

$1^\infty$ 型有个常用的「凑 $e$」捷径：若 $\lim u=1$、$\lim v=\infty$，则

$$\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$$

这是因为 $\ln u=\ln(1+(u-1))\sim u-1$。比如 $\lim\limits_{x\to\infty}\left(1+\dfrac{2}{x}\right)^x=e^{\lim x\cdot\frac{2}{x}}=e^2$。

两个重要极限

$$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$$ $$\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$$

第一个用 夹逼准则 + 几何面积证明；第二个由 单调有界准则 给出 $e$ 的定义。

为什么这两个极限「重要」？因为它们是各自一大类问题的 源头。

• 第一个 $\dfrac{\sin x}{x}\to 1$ 说明 在原点附近，正弦和它的弧度几乎一样长。它是所有三角函数等价无穷小的根，也是 $(\sin x)'=\cos x$ 这条求导公式的来源——离开它，三角函数的微积分无从谈起。凡是看到 $\dfrac{\sin\square}{\square}$（$\square\to 0$）的结构，都往这里靠。
• 第二个定义了自然常数 $e$，刻画的是 连续复利 / 指数增长 的极限形态：本金不断以越来越小的间隔滚动复利，最终增长因子收敛到 $e$。它是 $1^\infty$ 型未定式的标准模型，也是 $e^x$ 求导后不变这一奇妙性质的根。

例：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin 3x}{\sin 5x}$。凑第一个重要极限的结构，分子分母同时配上变量：

$$\frac{\sin 3x}{\sin 5x}=\frac{\sin 3x}{3x}\cdot\frac{5x}{\sin 5x}\cdot\frac{3x}{5x}\xrightarrow{x\to 0}1\cdot 1\cdot\frac{3}{5}=\frac{3}{5}$$

例：$\lim\limits_{x\to\infty}\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^x$。底数 $\to 1$、指数 $\to\infty$，是 $1^\infty$ 型，用凑 $e$ 捷径 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$：

$$v(u-1)=x\cdot\frac{(x+1)-(x-1)}{x-1}=\frac{2x}{x-1}\xrightarrow{x\to\infty}2,\quad\text{原式}=e^2$$

极限计算方法全家桶

求极限没有万能钥匙，但有一套「先看类型、再挑工具」的固定流程。下面把常用方法逐一配算例，并讲清 何时用哪种。

直接代入与四则化简

被积函数是初等函数、代入不出未定式时，直接代入 即得（连续性）。代入出 $\dfrac00$ 时，多半能靠 约分、有理化、通分 把「制造零」的公因子消掉。

例：$\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x^2-1}{x^2-3x+2}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)}=\lim\limits_{x\to 1}\dfrac{x+1}{x-2}=\dfrac{2}{-1}=-2$。

例（有理化）：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sqrt{1+x}-1}{x}$。分子有理化，乘 $\dfrac{\sqrt{1+x}+1}{\sqrt{1+x}+1}$：

$$\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{(1+x)-1}{x(\sqrt{1+x}+1)}=\frac{1}{\sqrt{1+x}+1}\xrightarrow{x\to 0}\frac{1}{2}$$

等价无穷小代换

只要式子是 乘除结构、且因子在该过程下是无穷小，就把它换成最简替身——这是 $\dfrac00$ 型最快的一招。

例：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\tan x-\sin x}{x^3}$。先提公因子 $\tan x-\sin x=\tan x(1-\cos x)$，再用 $\tan x\sim x$、$1-\cos x\sim\dfrac{x^2}{2}$（这两步都在 乘法 里，合法）：

$$\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac{\tan x\,(1-\cos x)}{x^3}\sim\frac{x\cdot\frac{x^2}{2}}{x^3}=\frac{1}{2}$$

对比前面等价无穷小一节的警示：若一上来就把 $\tan x,\sin x$ 都换成 $x$ 去做减法，会错成 $0$。先把减法化成乘法，再代换。

例：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}$。用 $e^{x^2}-1\sim x^2$、$\cos x-1\sim-\dfrac{x^2}{2}$：

$$\frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}\sim\frac{x^2}{-\frac{x^2}{2}}=-2$$

泰勒展开

当等价无穷小因「加减抵消主部」而失效时，泰勒展开 是最稳的武器：把每个函数展开到 足够高的阶（一般展到分母同阶），让该消的项自然抵消、该留的项浮出来。

例：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\cos x-e^{-x^2/2}}{x^4}$。两者一阶等价无穷小都是 $1-\dfrac{x^2}{2}$，相减后主部抵消，必须展到 $x^4$：

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4),\quad e^{-x^2/2}=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{8}+o(x^4)$$

相减得 $\cos x-e^{-x^2/2}=\left(\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{8}\right)x^4+o(x^4)=-\dfrac{x^4}{12}+o(x^4)$，故极限为 $-\dfrac{1}{12}$。

洛必达法则

$\dfrac00$、$\dfrac\infty\infty$ 型，且求导后变简单时用洛必达（详见 导数与微分）。它和泰勒常可互相替代——函数求导后形态变好就用洛必达，求导越求越乱（如含根号、三角嵌套）就用泰勒。

例：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{x-\sin x}{x^3}\xlongequal{\frac00}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{1-\cos x}{3x^2}\xlongequal{\frac00}\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\sin x}{6x}=\dfrac{1}{6}$。连用两次，每次都验型是 $\dfrac00$。

tip

洛必达不是「越多越好」。用前务必验型，用后若仍是未定式才继续。一旦中途变成「非未定式」就该停手代入；含 $\dfrac{\sin x}{x}$ 这类已知极限时，先抽出来用掉 比继续求导省事得多。

夹逼准则

通项被两个同极限的式子夹住时用夹逼，带 $\sin\frac1x$、含取整、$n$ 项求和 的极限尤其常见。

例：$\lim\limits_{x\to 0}x^2\sin\dfrac{1}{x}$。由 $\left|\sin\dfrac1x\right|\le 1$ 得 $-x^2\le x^2\sin\dfrac1x\le x^2$，两边都 $\to 0$，故极限为 $0$。

例（数列求和夹逼）：$\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{n}{n^2+k}$。每一项的分母在 $n^2+1$ 与 $n^2+n$ 之间，于是

$$\frac{n\cdot n}{n^2+n}\le\sum_{k=1}^{n}\frac{n}{n^2+k}\le\frac{n\cdot n}{n^2+1}$$

左端 $\dfrac{n^2}{n^2+n}\to 1$，右端 $\dfrac{n^2}{n^2+1}\to 1$，故和的极限为 $1$。

各型未定式的标准算例

化归思路见 未定式的化归，这里给每型一个带步骤的样板。

• $\dfrac00$：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}\overset{\ln(1+x)\sim x}{=}1$。

• $\dfrac\infty\infty$：$\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}\xlongequal{\frac\infty\infty}\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1/x}{1}=0$（印证「对数 $\ll$ 幂」）。

• $0\cdot\infty$：$\lim\limits_{x\to 0^+}x\ln x$。把 $x$ 写到分母化成 $\dfrac\infty\infty$：

$$\lim_{x\to 0^+}x\ln x=\lim_{x\to 0^+}\frac{\ln x}{1/x}\xlongequal{\frac\infty\infty}\lim_{x\to 0^+}\frac{1/x}{-1/x^2}=\lim_{x\to 0^+}(-x)=0$$

• $\infty-\infty$：$\lim\limits_{x\to 0}\left(\dfrac{1}{\sin x}-\dfrac{1}{x}\right)$。通分凑成一个分式：

$$\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{x}=\frac{x-\sin x}{x\sin x}\sim\frac{x-\sin x}{x^2}\overset{x-\sin x\sim\frac{x^3}{6}}{\sim}\frac{x^3/6}{x^2}=\frac{x}{6}\to 0$$

• $1^\infty$：$\lim\limits_{x\to 0}(1+\sin x)^{1/x}$。用 $\lim u^v=e^{\lim v(u-1)}$，$v(u-1)=\dfrac{\sin x}{x}\to 1$，故极限为 $e$。

• $0^0$：$\lim\limits_{x\to 0^+}x^x$。取对数 $\ln x^x=x\ln x\to 0$（见上面 $0\cdot\infty$ 算例），故 $x^x\to e^0=1$。

• $\infty^0$：$\lim\limits_{x\to+\infty}x^{1/x}$。取对数 $\dfrac{\ln x}{x}\to 0$，故极限为 $e^0=1$。

连续与间断

连续的定义

函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续 $\iff$

$$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$$

等价表述：$\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=0$。

这个定义其实暗含 三个条件同时成立：$f$ 在 $x_0$ 有定义、$\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ 存在、且这个极限值恰好等于 $f(x_0)$。三者缺一就在 $x_0$ 间断。直观上，连续就是「图像在该点不断笔、能一笔画过去」。

连续函数的运算

• 连续函数的 和、差、积、商（分母非零处）仍连续。
• 连续函数的 复合 仍连续：若 $u=g(x)$ 在 $x_0$ 连续、$y=f(u)$ 在 $u_0=g(x_0)$ 连续，则 $f(g(x))$ 在 $x_0$ 连续。
• 反函数：单调连续函数的反函数在对应区间上也单调连续。

由这些运算法则可得一条极有用的结论：一切初等函数在其定义区间内都连续。初等函数由基本初等函数（幂、指、对、三角、反三角）经有限次四则运算和复合得到，而基本初等函数处处连续，连续性逐层传递下来。这意味着对初等函数，在定义域内点 $x_0$ 处求极限就是 直接代入 $f(x_0)$——求极限的难点几乎都集中在「代入会出未定式」的地方。

间断点分类

判断步骤：先看 $f$ 在 $x_0$ 是否有定义，再分别求左、右极限，最后对照下表归类。

类型	条件
可去间断点	左右极限存在且相等，但 $\ne f(x_0)$ 或 $f$ 在 $x_0$ 无定义
跳跃间断点	左右极限都存在但不相等
无穷间断点	至少一侧极限为 $\infty$
振荡间断点	极限不存在且非无穷（如 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$）

前两类合称 第一类间断点（特征是 左右极限都存在），后两类合称 第二类间断点（至少一侧极限不存在或为无穷）。「可去」之所以叫可去，是因为只要补充或修改 $f(x_0)$ 的值就能把它「接上」，让函数变连续。

例（判间断点类型）：$f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 处无定义，但 $\lim\limits_{x\to 1}f(x)=\lim\limits_{x\to 1}(x+1)=2$ 存在，是 可去间断点（补上 $f(1)=2$ 即连续）。$g(x)=\dfrac{|x|}{x}$ 在 $x=0$ 处左极限 $-1$、右极限 $+1$，是 跳跃间断点。$h(x)=\dfrac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处一侧极限为 $\infty$，是 无穷间断点。

闭区间连续函数性质

设 $f\in C[a,b]$，则有：

• 有界性定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上有界。
• 最值定理：$f$ 在 $[a,b]$ 上取得最大值和最小值。
• 介值定理：$f$ 取到介于最大最小值之间的任意值。
• 零点定理：若 $f(a)f(b)<0$，则 $\exists\xi\in(a,b)$ 使 $f(\xi)=0$。

这几条性质都依赖 闭区间 和 连续 两个条件，缺一不可。零点定理是连续性最直观的体现：一条连续曲线从横轴下方走到上方，中途必然穿过横轴。它是数值求根（二分法）和证明方程有解的理论基础；介值定理则是它的推广——连续函数取值「不跳格」，中间值一个都不漏。

例（用零点定理证方程有根）：证 $x^3-3x+1=0$ 在 $(0,1)$ 内至少有一根。令 $f(x)=x^3-3x+1$，它在 $[0,1]$ 上连续，且

$$f(0)=1>0,\quad f(1)=1-3+1=-1<0$$

由 $f(0)f(1)<0$ 及零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$ 使 $f(\xi)=0$。证「方程有解」的常规套路：把方程移项成 $f(x)=0$，找两个让 $f$ 异号的点，套零点定理。

例（介值定理 / 不动点）：设 $f\in C[0,1]$ 且 $0\le f(x)\le 1$，证存在 $\xi$ 使 $f(\xi)=\xi$（不动点）。令 $g(x)=f(x)-x$，则 $g$ 连续，$g(0)=f(0)\ge 0$、$g(1)=f(1)-1\le 0$。若两端有一个取等则该端点即为不动点；否则 $g(0)>0$、$g(1)<0$ 异号，由零点定理得 $g(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi$。构造辅助函数 $g=f-x$ 是处理「$f(\xi)=\xi$」一类问题的钥匙。