二次型

参考资料

• 二次型 - 维基百科
• 正定矩阵 - 维基百科
• 西尔维斯特惯性定律 - 维基百科

引入

二次型（Quadratic Form）是 $n$ 个变量的 齐二次多项式（每一项都是二次）：

$$f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j$$

它是中学里 $ax^2+bxy+cy^2$ 向高维的推广。研究目标只有一个：通过 变量替换，把交叉项 $x_ix_j$ 全部消掉，化成纯 平方和 形式，从而一眼看出它的符号性质和几何形状。

为什么值得专门研究？因为二次型无处不在：二次曲线/曲面的分类、多元函数极值的二阶判别（海森矩阵）、概率论里的协方差矩阵、最优化里的目标函数，背后都是同一套二次型理论。

矩阵表示

任何二次型都能唯一地写成 对称矩阵 的形式：

$$f(\vec x)=\vec x^TA\vec x,\qquad A^T=A$$

对应规则：$a_{ii}$ 取 $x_i^2$ 的系数；$a_{ij}=a_{ji}$ 各取 $x_ix_j$ 系数的 一半（因为交叉项被 $a_{ij}$ 和 $a_{ji}$ 平摊）。

矩阵 $A$ 称为二次型的 矩阵，其秩 $r(A)$ 称为二次型的 秩。

tip

「系数减半」是新手最容易错的地方。例如 $f=x_1^2+4x_1x_2+3x_2^2$，对角填系数 $1$ 和 $3$，交叉项 $4x_1x_2$ 拆成 $a_{12}=a_{21}=2$：

$$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$$

坚持用 对称矩阵 表示，是因为只有对称矩阵才一定能正交对角化，整套理论才走得通。

合同变换

合同

做可逆线性替换 $\vec x=C\vec y$（$C$ 可逆），二次型变为

$$f=\vec x^TA\vec x=(C\vec y)^TA(C\vec y)=\vec y^T(C^TAC)\vec y$$

于是新矩阵是 $C^TAC$。若存在可逆 $C$ 使 $B=C^TAC$，称 $A,B$ 合同（Congruent），记 $A\simeq B$。合同变换对应「换一组坐标看同一个二次型」，它保持二次型的本质（秩、正负惯性指数）不变。

合同与相似

关系	定义	几何意义
相似	$P^{-1}AP=B$	同一线性变换在不同基下
合同	$C^TAC=B$	同一二次型在不同坐标下

两者一般不同，但有一个重要交汇：当 $C$ 是 正交矩阵 时 $C^T=C^{-1}$，相似与合同 同时成立。这正是用正交变换化标准形既保特征值（相似）又保二次型（合同）的原因。

标准形

定义

只含平方项、没有交叉项的二次型称为 标准形（Canonical Form）：

$$f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\dots+d_ny_n^2$$

对应矩阵是对角阵 $\operatorname{diag}(d_1,\dots,d_n)$。化标准形，就是给二次型的矩阵找一个合同的对角阵。

化标准形的三种方法

方法	思路
正交变换法	求 $A$ 的特征值 $\lambda_i$ 与正交矩阵 $Q$，令 $\vec x=Q\vec y$，得 $f=\lambda_1y_1^2+\dots+\lambda_ny_n^2$
配方法（拉格朗日）	逐个把含某变量的项凑成完全平方，再换元，反复直到无交叉项
初等变换法	对 $(A\mid E)$ 做 成对的 行列初等变换，左边化对角时右边即变换矩阵

三种方法得到的对角元 不唯一（系数大小可以不同），但下文的惯性指数是唯一的。

tip

正交变换法 最特殊：因为 $Q$ 正交，它在化简的同时 保持了几何形状（不拉伸、不扭曲），所以对角元恰好是 特征值，对应各主轴方向的真实缩放。需要研究二次曲面形状时用它；只想快速判断正负性时，配方法 往往更省力。

配方法算例

例（有平方项）：把 $f=x_1^2+2x_2^2+5x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+6x_2x_3$ 化标准形。思路是 先收齐含 $x_1$ 的所有项凑成完全平方，再处理剩下的。含 $x_1$ 的是 $x_1^2+2x_1x_2+2x_1x_3$，配成 $(x_1+x_2+x_3)^2$ 会多出 $x_2^2+x_3^2+2x_2x_3$，扣掉：

$$f=(x_1+x_2+x_3)^2+(2x_2^2-x_2^2)+(5x_3^2-x_3^2)+(6x_2x_3-2x_2x_3)=(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+4x_3^2+4x_2x_3$$

剩下的 $x_2^2+4x_2x_3+4x_3^2$ 再对 $x_2$ 配方，正好是 $(x_2+2x_3)^2$：

$$f=(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2+2x_3)^2$$

令 $y_1=x_1+x_2+x_3$、$y_2=x_2+2x_3$、$y_3=x_3$（这是可逆线性替换），得标准形 $f=y_1^2+y_2^2$。秩为 $2$，正惯性指数 $p=2$，负惯性指数 $q=0$。

例（无平方项）：把 $f=2x_1x_2+2x_1x_3-2x_2x_3$ 化标准形。全是交叉项、没有平方项，配方无从下手，先做一个 预备替换 造出平方项：令 $x_1=y_1+y_2$、$x_2=y_1-y_2$、$x_3=y_3$。代入，$2x_1x_2=2(y_1+y_2)(y_1-y_2)=2y_1^2-2y_2^2$，其余项 $2x_1x_3-2x_2x_3=2x_3(x_1-x_2)=2y_3\cdot2y_2=4y_2y_3$，于是

$$f=2y_1^2-2y_2^2+4y_2y_3$$

现在有平方项了，对 $y_2$ 配方：$-2y_2^2+4y_2y_3=-2(y_2^2-2y_2y_3)=-2(y_2-y_3)^2+2y_3^2$，故

$$f=2y_1^2-2(y_2-y_3)^2+2y_3^2$$

再令 $z_1=y_1$、$z_2=y_2-y_3$、$z_3=y_3$，得标准形 $f=2z_1^2-2z_2^2+2z_3^2$。秩为 $3$，正惯性指数 $p=2$、负惯性指数 $q=1$，符号差 $p-q=1$。「无平方项先凑 $x_i=y_i+y_j,\ x_j=y_i-y_j$」是这类题的固定起手。

规范形与惯性定理

规范形

把标准形里每个非零平方项的系数再通过伸缩化成 $\pm 1$，得到 规范形（Normal Form）：

$$f=y_1^2+\dots+y_p^2-y_{p+1}^2-\dots-y_{p+q}^2$$

只剩 $+1$、$-1$、$0$ 三种系数，是最「素」的形态。

惯性定理（西尔维斯特惯性定律）

一个二次型用 不同 的可逆线性变换化出的标准形，系数可以各不相同，但其中：

• 正系数的个数 $p$ —— 正惯性指数；
• 负系数的个数 $q$ —— 负惯性指数；
• 非零系数总数 $r=p+q$ —— 二次型的 秩；

这三个数 完全由二次型本身决定，与采用何种变换无关。所以规范形 唯一。$p-q$ 称为 符号差。

正交变换算例

例：用正交变换把 $f=2x_1^2+2x_2^2-2x_1x_2$ 化标准形并写出变换矩阵。二次型矩阵（交叉项系数减半）

$$A=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&2\end{pmatrix}$$

特征方程 $|A-\lambda E|=(2-\lambda)^2-1=0$ 给 $\lambda_1=1,\lambda_2=3$。对 $\lambda_1=1$：$(A-E)\vec x=\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\vec x=\vec0$，得 $\vec\xi_1=(1,1)^T$；对 $\lambda_2=3$：$\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&-1\end{pmatrix}\vec x=\vec0$，得 $\vec\xi_2=(1,-1)^T$。两特征值互异，特征向量已自动正交，只需单位化：

$$Q=\frac{1}{\sqrt2}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$$

令 $\vec x=Q\vec y$，则 $f=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2=y_1^2+3y_2^2$。对角元恰是特征值，$Q$ 的列就是主轴方向。因为 $Q$ 正交，这个化简同时保住了图形：$f=1$ 是一个椭圆，长短半轴比由 $\sqrt{3}:1$ 决定。

tip

惯性定理是二次型的「身份证」：判断两个实二次型能否互相合同，只看它们的 秩 $r$ 和正惯性指数 $p$ 是否相同即可，不必真的去找变换矩阵。

正定性

定义

设 $f(\vec x)=\vec x^TA\vec x$（$A$ 实对称），按它对所有非零 $\vec x$ 取值的符号分类：

类型	对所有 $\vec x\ne\vec 0$
正定（Positive Definite）	$f(\vec x)>0$
负定（Negative Definite）	$f(\vec x)<0$
半正定	$f(\vec x)\ge 0$
半负定	$f(\vec x)\le 0$
不定	既能取正也能取负

正定的几何画面：图像是一个开口向上、最低点在原点的「碗」，从任何方向离开原点函数值都上升。

正定的等价判定

下列条件相互等价（$A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵）：

1. $f$ 正定；
2. $A$ 的 所有特征值 都 $>0$；
3. $A$ 的 所有顺序主子式 都 $>0$；
4. 正惯性指数 $p=n$；
5. 存在可逆矩阵 $P$ 使 $A=P^TP$；
6. $A$ 合同于单位阵 $E$。

tip

挑哪条判定看场景：手头有特征值就用「特征值全正」；只有矩阵 $A$ 就用 顺序主子式判别法（赫尔维茨判据） 最省事 ——

$$a_{11}>0,\quad\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}>0,\quad\dots,\quad |A|>0$$

依次算 $1$ 到 $n$ 阶顺序主子式，全部 $>0$ 即正定。注意是「顺序」主子式（从左上角起的那一串），不是任意主子式。

例（顺序主子式法）：判定 $f=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$ 是否正定。先写矩阵（交叉项减半）：

$$A=\begin{pmatrix}2&2&-2\\2&5&-4\\-2&-4&5\end{pmatrix}$$

依次算三个顺序主子式：

$$D_1=2>0,\quad D_2=\begin{vmatrix}2&2\\2&5\end{vmatrix}=10-4=6>0,\quad D_3=|A|=2(25-16)-2(10-8)+(-2)(-8+10)=18-4-4=10>0$$

三个全大于 $0$，故 $f$ 正定。只用矩阵本身、不必求特征值，这是手算判定正定最快的路子。

例（特征值法）：判定 $A=\begin{pmatrix}3&1\\1&3\end{pmatrix}$ 对应的二次型是否正定。特征值 $\lambda=3\pm1=2,4$，全为正，故正定。对照顺序主子式法：$D_1=3>0$、$D_2=9-1=8>0$，同样判定正定，两法结论一致。若手头已经算出了特征值（如做完正交对角化），直接看符号最省事；只有矩阵时用顺序主子式。

半正定与负定的判定

• 半正定：所有特征值 $\ge 0$，等价于所有 主子式（含非顺序的）$\ge 0$（这里顺序主子式 $\ge 0$ 不够，是常见陷阱）。
• 负定：$-A$ 正定 $\iff$ 所有特征值 $<0$ $\iff$ 顺序主子式 正负交替，奇数阶 $<0$、偶数阶 $>0$。

几何意义：二次曲面分类

二次型 $\vec x^TA\vec x=1$ 在不同正定性下，描绘出不同的二次曲线/曲面。正交变换把它转到主轴坐标系后，看特征值（即标准形系数）的符号就能定形状：

特征值符号（$n=3$）	曲面类型
全为正	椭球面（正定，封闭的「蛋」）
两正一负	单叶双曲面
一正两负	双叶双曲面
有零特征值	退化为柱面、抛物面等

二维同理：两个特征值同号得 椭圆，异号得 双曲线，有一个为零则退化。特征值的 绝对值 决定各主轴的长短，符号 决定曲线/曲面的开闭与朝向 —— 这就是「特征值即各方向缩放因子」在几何上的直接体现。

应用

• 多元极值：把 多元微积分 里的 海森矩阵 当成二次型矩阵，正定 $\Rightarrow$ 极小值、负定 $\Rightarrow$ 极大值、不定 $\Rightarrow$ 鞍点。
• 二次曲线/曲面分类：如上，靠特征值符号判别椭圆、双曲、抛物等。
• 概率论：随机向量的 协方差矩阵 必半正定，正定则对应「没有退化方向」的非奇异分布。
• 最优化：目标函数的二次近似正定时，问题是凸的，局部极小即全局极小。