三角函数

参考资料

• 三角函数 - 维基百科
• 《关于我不背三角公式，高考数学144这件事》 一个式子推出所有三角公式 - bilibili

前置知识

任意角

一条射线绕端点 逆时针 旋转形成的角称为正角，顺时针 旋转形成的角称为负角。

由于旋转方向和圈数都不受限制，任意角的大小可以是任意实数。

弧度制

小学和初中常用的角度单位是 角度制，将一个周角平均分为 $360$ 份，其中每一份定义为 $1^\circ$。

但在更高层次的数学中，角的本质是弧长与半径的比值。由于同一角的弧长与半径的比值是一个常数，数学家据此引入了另一种角度单位——弧度制。

一个 $360^\circ$ 的周角对应整个圆周，其弧长为 $2\pi r$，半径为 $r$，所以比值为 $\frac{2\pi r}{r}=2\pi$，因此 $360^\circ = 2\pi$ 弧度。

弧度与角度成正比，其他角度都可以通过换算得到：

角度	弧度	角度	弧度
$0^\circ$	$0$	$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$
$15^\circ$	$\frac{\pi}{12}$	$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$180^\circ$	$\pi$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$360^\circ$	$2\pi$

单位圆

单位圆指平面直角坐标系上，圆心为 原点，半径为 单位长度 的圆。

单位圆的方程：$x^2+y^2=1$。

距离公式

两点 $A(x_0,y_0),B(x_1,y_1)$ 之间的距离为 $\sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2}$。

构造直角三角形，两条直角边的长度分别为 $|x_0-x_1|$ 和 $|y_0-y_1|$。

而斜边的长度就是 $A$ 点和 $B$ 点的距离 $|AB|$，根据勾股定理：

$$|AB|=\sqrt{(x_0-x_1)^2+(y_0-y_1)^2}$$

tip

$A,B$ 两点之间的距离一般用 $|AB|$ 表示。

三角形的约定

• 解三角形 - 三角形的约定

定义

锐角三角函数

锐角三角函数是在直角三角形中，以一个锐角为基准，定义对边、邻边和斜边中两边之比的函数。

任意角三角函数

锐角三角函数定义是基于 直角三角形 的，但直角三角形的锐角只能在 $(0,\frac{\pi}{2})$ 范围内。

超出这个范围的三角函数就没有意义了，所以高中时会用 单位圆 定义任意角三角函数。

如图，将斜边为 $1$ 的直角三角形放入单位圆内。

不难发现，不管 $t$ 的大小，都有斜边 $c=1$。

带入 $\sin$ 和 $\cos$ 的锐角三角函数的定义：

$$\sin t=\frac{a}{c}=a,\cos t=\frac{b}{c}=b$$

而 $a$ 和 $b$ 是该直角三角形的两边，是这个点的 纵坐标 和 横坐标.

因此，单位圆周上辐角为 $t$ 的点的坐标为 $(\cos t,\sin t)$。

warning

这个点坐标为 $(\cos t,\sin t)$，$\cos$ 在前，$\sin$ 在后。

性质

基本性质

函数	$\sin{x}$	$\cos{x}$	$\tan{x}$	$\cot{x}$	$\sec{x}$	$\csc{x}$
名称	正弦	余弦	正切	余切	正割	余割
定义	$\frac{a}{c}$	$\frac{b}{c}$	$\frac{a}{b}$	$\frac{b}{a}$	$\frac{c}{b}$	$\frac{c}{a}$
定义域	$x\in\mathbb{R}$	$x\in\mathbb{R}$	$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x\ne k\pi$	$x\ne\frac{\pi}{2}+k\pi$	$x\ne k\pi$
值域	$y\in[-1,1]$	$y\in[-1,1]$	$y\in\mathbb{R}$	$y\in\mathbb{R}$	$y\le1 \lor y\ge1$	$y\le1 \lor y\ge1$
奇偶性	奇函数	偶函数	奇函数	奇函数	偶函数	奇函数
周期	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$	$\pi$	$2\pi$	$2\pi$

函数图像

有点抽象

红色为 $\sin$，蓝色为 $\cos$，绿色为 $\tan$，橙色为 $\cot$，紫色为 $\sec$，黑色为 $\csc$。

常用值速查表

角度	弧度	$\sin{\theta}$	$\cos{\theta}$	$\tan{\theta}$	$\cot{\theta}$	$\sec{\theta}$	$\csc{\theta}$
$0^\circ$	$0$	$0$	$1$	$0$	$/$	$1$	$/$
$15^\circ$	$\frac{\pi}{12}$	$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$	$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$	$2 - \sqrt{3}$	$2 + \sqrt{3}$	$\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}$	$\frac{4}{\sqrt{6}-\sqrt{2}}$
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$\sqrt{3}$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$	$2$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$1$	$1$	$\sqrt{2}$	$\sqrt{2}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$2$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$1$	$0$	$/$	$0$	$/$	$1$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$-\frac{1}{2}$	$-\sqrt{3}$	$-\frac{\sqrt{3}}{3}$	$-2$	$\frac{2}{\sqrt{3}}$
$180^\circ$	$\pi$	$0$	$-1$	$0$	$/$	$-1$	$/$
$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$	$-1$	$0$	$/$	$0$	$/$	$-1$
$360^\circ$	$2\pi$	$0$	$1$	$0$	$/$	$1$	$/$

恒等式

平方恒等式

$$\boxed{\begin{array}{l} \\ \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=1 \\ \\ 1+\tan^2{\alpha}=\sec^2{\alpha} \\ \\ \cot^2{\alpha}+1=\csc^2{\alpha} \\ \\ \end{array}}$$

商数恒等式

$$\boxed{\begin{array}{l} \\ \tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \\ \\ \cot{\alpha}=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \\ \\ \end{array}}$$

倒数恒等式

$$\boxed{\begin{array}{l} \\ \sin{\alpha}=\frac{1}{\csc{\alpha}} \\ \\ \cos{\alpha}=\frac{1}{\sec{\alpha}} \\ \\ \tan{\alpha}=\frac{1}{\cot{\alpha}} \\ \\ \end{array}}$$

积的恒等式

$$\boxed{\begin{array}{l} \\ \sin{\alpha}=\tan{\alpha}\cos{\alpha} \\ \\ \cos{\alpha}=\cot{\alpha}\sin{\alpha} \\ \\ \tan{\alpha}=\sin{\alpha}\sec{\alpha} \\ \\ \cot{\alpha}=\cos{\alpha}\csc{\alpha} \\ \\ \sec{\alpha}=\tan{\alpha}\csc{\alpha} \\ \\ \csc{\alpha}=\sec{\alpha}\cot{\alpha} \\ \\ \end{array}}$$

推导过程

上图中蓝色三角形是直角三角形，根据勾股定理：

$$\sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=1$$

等式两边同时除以 $\sin^2{\theta}$ 或 $\cos^2{\theta}$ 可得：

$$1+\tan^2{\alpha}=\sec^2{\alpha}$$ $$\cot^2{\alpha}+1=\csc^2{\alpha}$$

对于其他三组恒等式，将锐角三角函数的定义带入即可证明：

$$\sin{\theta}=\frac{a}{c},\cos{\theta}=\frac{b}{c},\tan{\theta}=\frac{a}{b},\cot{\theta}=\frac{b}{a},\sec{\theta}=\frac{c}{b},\csc{\theta}=\frac{c}{a}$$

示例

• $\frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=\frac{a/c}{b/c}=\frac{a}{b}=\tan{\theta}$

公式

两角和差公式

无字证明

一个精妙的无字证明：

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$$

$$\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$

推导过程

余弦差角公式推导

tip

余弦差角公式是本文 唯一 需要通过几何推导来证明的公式。

其他公式都可以通过代入已有公式推导得出。

如图，设 $\angle AOB'=\alpha,\angle BOB'=\beta$。

则 $A,B$ 两点的坐标分别为 $A(\cos{\alpha},\sin{\alpha}),B(\cos{\beta},\sin{\beta})$。

根据距离公式：

$$\begin{aligned} |AB|^2 &= (\cos{\alpha}-\cos{\beta})^2+(\sin{\alpha}-\sin{\beta})^2 \\ &= \cos^2{\alpha}-2\cos{\alpha}\cos{\beta}+\cos^2{\beta}+sin^2{\alpha}-2\sin{\alpha}\sin{\beta}+sin^2{\beta} \\ &= 2-2(\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}) \end{aligned}$$

让 $OA$ 和 $OB$ 同时绕原点顺时针旋转 $\beta$，得到 $OA'$ 和 $OB'$。

此时 $OB$ 和 $x$ 轴重合，$\angle A'OB'=\alpha-\beta$。

所以 $A',B'$ 两点的坐标分别为 $A'(\cos{(\alpha-\beta)},\sin{(\alpha-\beta)}),B'(1,0)$。

根据距离公式：

$$\begin{aligned} |A'B'|^2 &= (\cos{(\alpha-\beta)}-1)^2+(\sin{(\alpha-\beta)}-0)^2 \\ &= \cos^2{(\alpha-\beta)}-2\cos{(\alpha-\beta)}+1+\sin^2{(\alpha+\beta)} \\ &= 2-2\cos{(\alpha-\beta)} \end{aligned}$$

不难证明 $\triangle ABO\cong\triangle A'B'O$，所以 $|AB|=|A'B'|$。

所以 $|AB|^2=|A'B'|^2=\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$。

余弦和角公式推导

$$\begin{aligned} \cos{(\alpha+\beta)} &= \cos{(\alpha-(-\beta))} \\ &= \cos{\alpha}\cos{(-\beta)}+\sin{\alpha}\sin{(-\beta)} \\ &= \cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned}$$

正弦差角公式推导

$$\cos{(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\cos{\frac{\pi}{2}}\cos{\theta}+\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{\theta}=\sin{\theta}$$ $$\sin{(\frac{\pi}{2}-\theta)}=\cos{(\frac{\pi}{2}-(\frac{\pi}{2}-\theta))}=\cos{\theta}$$ $$\begin{aligned} \sin{(\alpha-\beta)} &= \cos{(\frac{\pi}{2}-(\alpha-\beta))} \\ &= \cos{((\frac{\pi}{2}-\alpha)+\beta)} \\ &= \cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\cos{\beta}-\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}\sin{\beta} \\ &= \sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned}$$

正弦和角公式推导

$$\begin{aligned} \sin{(\alpha+\beta)} &= \sin{(\alpha-(-\beta))} \\ &= \sin{\alpha}\cos{(-\beta)}+\cos{\alpha}\sin{(-\beta)} \\ &= \sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta} \end{aligned}$$

正切差角公式推导

$$\begin{aligned} \tan{(\alpha-\beta)} &= \frac{\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha-\beta)}} \\ &= \frac{\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}} \\ &= \frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{aligned}$$

正切和角公式推导

$$\begin{aligned} \tan{(\alpha+\beta)} &= \tan{(\alpha-(-\beta))} \\ &= \frac{\tan{\alpha}-\tan{(-\beta)}}{1+\tan{\alpha}\tan{(-\beta})} \\ &= \frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}} \end{aligned}$$

公式总结

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\tan{(\alpha+\beta)}=\frac{\tan{\alpha}+\tan{\beta}}{1-\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$ $$\tan{(\alpha-\beta)}=\frac{\tan{\alpha}-\tan{\beta}}{1+\tan{\alpha}\tan{\beta}}$$

诱导公式

推导过程

诱导公式可以用和差角公式直接计算。

示例

• $\sin{(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=\sin{\frac{\pi}{2}}\cos{\alpha}+\cos{\frac{\pi}{2}}\sin{\alpha}=\cos{\alpha}$

记忆方法

口诀：奇变偶不变，符号看象限。

1. 奇变偶不变：奇偶指 $\frac{\pi}{2}$ 的系数，例如 $\pi,2\pi$ 是偶数，$\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}$ 是奇数。如果是偶数，公式前后函数名一致；如果是奇数，改成对应的函数名。（$\sin\leftrightarrow\cos,\tan\leftrightarrow\cot,\sec\leftrightarrow\csc$）

2. 符号看象限：把 $\alpha$ 看作第一象限角（例如设 $\alpha=\frac{\pi}{4}$），计算出前面的值在后面函数的正负号：

象限	范围	$\sin{\alpha}$	$\cos{\alpha}$	$\tan{\alpha}$	$\cot{\alpha}$	$\sec{\alpha}$	$\csc{\alpha}$
第一象限	$(2k\pi,2k\pi+\frac{\pi}{2})$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
第二象限	$(2k\pi+\frac{\pi}{2},2k\pi+\pi)$	$+$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
第三象限	$(2k\pi+\pi,2k\pi+\frac{3\pi}{2})$	$-$	$-$	$+$	$+$	$-$	$-$
第四象限	$(2k\pi+\frac{3\pi}{2},2k\pi+2\pi)$	$-$	$+$	$-$	$-$	$+$	$-$

示例

化简 $\sin{(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}$。

1. $\frac{3\pi}{2}=3\cdot\frac{\pi}{2}$ 是奇数，所以要将 $\sin$ 变成 $\cos$。
2. 把 $\alpha$ 看作第一象限角，则 $(\frac{3\pi}{2}-\alpha)$ 为第三象限角，$\cos$ 在第三象限为负数，所以为负号。
3. 所以 $\sin{(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=-\cos{\alpha}$。

公式总结

第一组

$$\sin{(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=\cos{\alpha}$$ $$\sin{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\cos{\alpha}$$ $$\cos{(\frac{\pi}{2}+\alpha)}=-\sin{\alpha}$$ $$\cos{(\frac{\pi}{2}-\alpha)}=\sin{\alpha}$$

第二组

$$\sin{(\pi+\alpha)}=-\sin{\alpha}$$ $$\sin{(\pi-\alpha)}=\sin{\alpha}$$ $$\cos{(\pi+\alpha)}=-\cos{\alpha}$$ $$\cos{(\pi-\alpha)}=-\cos{\alpha}$$

第三组

$$\sin{(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}=-\cos{\alpha}$$ $$\sin{(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=-\cos{\alpha}$$ $$\cos{(\frac{3\pi}{2}+\alpha)}=\sin{\alpha}$$ $$\cos{(\frac{3\pi}{2}-\alpha)}=-\sin{\alpha}$$

第四组

$$\sin{(2\pi+\alpha)}=\sin{\alpha}$$ $$\sin{(2\pi-\alpha)}=-\sin{\alpha}$$ $$\cos{(2\pi+\alpha)}=\cos{\alpha}$$ $$\cos{(2\pi-\alpha)}=\cos{\alpha}$$

二倍角公式

推导过程

余弦二倍角公式推导

$$\begin{aligned} \cos{2\alpha} &= \cos{(\alpha+\alpha)} \\ &= \cos{\alpha}\cos{\alpha}-\sin{\alpha}\sin{\alpha} \\ &= \cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1 \end{aligned}$$

tip

最后一行的三个公式等价。

正弦二倍角公式推导

$$\begin{aligned} \sin{2\alpha} &= \sin{(\alpha+\alpha)} \\ &= \sin{\alpha}\cos{\alpha}+\cos{\alpha}\sin{\alpha} \\ &= 2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \end{aligned}$$

正切二倍角公式推导

$$\begin{aligned} \tan{2\alpha} &= \frac{\sin{2\alpha}}{\cos{2\alpha}} \\ &= \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}} \\ &= \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}} \\ &= \frac{2\sin{\alpha}\cos{\alpha}/\cos^2{\alpha}}{\cos^2{\alpha}/\cos^2{\alpha}- \sin^2{\alpha}/\cos^2{\alpha}} \\ &= \frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}} \end{aligned}$$

公式总结

$$\begin{array}{l} \sin{2\alpha}=2\sin{\alpha}\cos{\alpha} \\ \cos{2\alpha}=\cos^2{\alpha}-\sin^2{\alpha}=1-2\sin^2{\alpha}=2\cos^2{\alpha}-1 \\ \tan{2\alpha}=\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}} \end{array}$$

三倍角公式

推导过程

正弦三倍角公式推导

$$\begin{aligned} \sin{3\alpha} &= \sin{(2\alpha+\alpha)} \\ &= \sin{2\alpha}\cos{\alpha}+\cos{2\alpha}\sin{\alpha} \\ &= 2\sin{\alpha}(1-\sin^2{\alpha})+(1-2\sin^2{\alpha})\sin{\alpha} \\ &= 3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha} \end{aligned}$$

余弦三倍角公式推导

$$\begin{aligned} \cos{3\alpha} &= \cos{(2\alpha+\alpha)} \\ &= \cos{2\alpha}\cos{\alpha}-\sin{2\alpha}\sin{\alpha} \\ &= (2\cos^2{\alpha}-1)\cos{\alpha}-2(1-\cos^2{\alpha})\cos{\alpha} \\ &= 4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha} \end{aligned}$$

正切三倍角公式推导

$$\begin{aligned} \tan{3\alpha} &= \frac{\sin{3\alpha}}{\cos{3\alpha}} \\ &= \frac{3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}}{4\cos^3{\alpha}-3\cos{\alpha}} \\ &= \frac{4\sin{\alpha}\sin{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}\sin{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}}{4\cos{\alpha}\cos{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\cos{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}} \\ &= \tan{\alpha}\tan{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\tan{(\frac{\pi}{3}+\alpha)} \end{aligned}$$

公式总结

$$\sin{3\alpha}=3\sin{\alpha}-4\sin^3{\alpha}$$ $$\cos{3\alpha}=-3\cos{\alpha}+4\cos^3{\alpha}$$ $$\tan{3\alpha}=\tan{\alpha}\tan{(\frac{\pi}{3}-\alpha)}\tan{(\frac{\pi}{3}+\alpha)}$$

半角公式

推导过程

余弦半角公式推导

$$\cos{2\theta}=2\cos^2{\theta}-1$$

令 $\alpha=2\theta$。

$$\begin{array}{l} \cos{\alpha}=2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-1 \\ \Rightarrow \cos^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1+\cos{\alpha}}{2} \\ \Rightarrow \cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}} \end{array}$$

正弦半角公式推导

$$\cos{2\theta}=1-2\sin^2{\theta}$$

令 $\alpha=2\theta$。

$$\begin{array}{l} \cos{\alpha}=1-2\sin^2{\frac{\alpha}{2}} \\ \Rightarrow \sin^2{\frac{\alpha}{2}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{2} \\ \Rightarrow \sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}} \end{array}$$

正切半角公式推导

$$\begin{aligned} \tan{\frac{\alpha}{2}} &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}}{\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}} \\ &= \pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \tan{\frac{\alpha}{2}} &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}\cdot2\cos{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot2\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}{2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} \tan{\frac{\alpha}{2}} &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{\sin{\frac{\alpha}{2}}\cdot2\sin{\frac{\alpha}{2}}}{\cos{\frac{\alpha}{2}}\cdot2\sin{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{2\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}} \end{aligned}$$

tip

以上的三个正切半角公式等价。

公式总结

$$\sin{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{2}}$$ $$\cos{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1+\cos{\alpha}}{2}}$$ $$\tan{\frac{\alpha}{2}}=\pm\sqrt{\frac{1-\cos{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}}=\frac{\sin{\alpha}}{1+\cos{\alpha}}=\frac{1-\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}$$

积化和差公式

推导过程

正弦两角和差公式：

$$\sin{(\alpha+\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}+\cos{\alpha}\sin{\beta}$$ $$\sin{(\alpha-\beta)}=\sin{\alpha}\cos{\beta}-\cos{\alpha}\sin{\beta}$$

令 $\sin{\alpha}\cos{\beta}=x,\cos{\alpha}\sin{\beta}=y$。

已知 $x,y$ 两数的和为 $\sin{(\alpha+\beta)}$，差为 $\sin{(\alpha-\beta)}$。

这是 小学二年级 的和差问题：

$$x=\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$y=\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}]$$

同理，用余弦两角和差公式，可以求出另外两组积化和差公式：

$$\cos{(\alpha+\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}-\sin{\alpha}\sin{\beta}=x-y$$ $$\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{\alpha}\cos{\beta}+\sin{\alpha}\sin{\beta}=x+y$$ $$x=\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}]$$ $$y=\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}]$$

记忆方法

sc=(s+s)/2
cs=(s-s)/2
cc=(c+c)/2
ss=-(c-c)/2

公式总结

$$\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}]$$ $$\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}]$$

和差化积公式

推导过程

积化和差公式：

$$\sin{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}+\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$\cos{\alpha}\sin{\beta}=\frac{1}{2}[\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}]$$ $$\cos{\alpha}\cos{\beta}=\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}+\cos{(\alpha-\beta)}]$$ $$\sin{\alpha}\sin{\beta}=-\frac{1}{2}[\cos{(\alpha+\beta)}-\cos{(\alpha-\beta)}]$$

令 $\alpha+\beta=A,\alpha-\beta=B$，则 $\alpha=\frac{A+B}{2},\beta=\frac{A-B}{2}$。

带入积化和差公式：

$$\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=\frac{1}{2}[\sin{A}+\sin{B}]$$ $$\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}=\frac{1}{2}[\sin{A}-\sin{B}]$$ $$\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}=\frac{1}{2}[\cos{A}+\cos{B}]$$ $$\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}=-\frac{1}{2}[\cos{A}-\cos{B}]$$

移项得：

$$\sin{A}+\sin{B}=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}$$ $$\sin{A}-\sin{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$$ $$\cos{A}+\cos{B}=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}$$ $$\cos{A}-\cos{B}=-2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{A-B}{2}}$$

公式总结

$$\sin{\alpha}+\sin{\beta}=2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$$ $$\sin{\alpha}-\sin{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$$ $$\cos{\alpha}+\cos{\beta}=2\cos{\frac{\alpha+\beta}{2}}\cos{\frac{\alpha-\beta}{2}}$$ $$\cos{\alpha}-\cos{\beta}=-2\sin{\frac{\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha-\beta}{2}}$$

辅助角公式

推导过程

$$\begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta} &= \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}(\cos{\varphi}\sin{\theta}+\sin{\varphi}\cos{\theta}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)} \end{aligned}$$

tip

第一行到第二行，$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 和 $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 的平方和等于 $1$，而 $\cos{\varphi}$ 和 $\sin{\varphi}$ 的平方和也等于 $1$，所以可以换元。

同理，可以将 $\cos{\varphi}$ 和 $\sin{\varphi}$ 交换位置。

$$\begin{aligned} a\sin{\theta}+b\cos{\theta} &= \sqrt{a^2+b^2}(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin{\theta}+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos{\theta}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}(\sin{\varphi}\sin{\theta}+\cos{\varphi}\cos{\theta}) \\ &= \sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\varphi)} \end{aligned}$$

公式总结

$$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\sin{(\theta+\varphi)},\tan{\varphi}=\frac{b}{a}$$ $$a\sin{\theta}+b\cos{\theta}=\sqrt{a^2+b^2}\cos{(\theta-\varphi)},\tan{\varphi}=\frac{a}{b}$$

万能公式

推导过程

正弦万能公式推导

$$\begin{aligned} \sin{\alpha} &= \sin{(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2})} \\ &= 2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}} \\ &= \frac{2\sin{\frac{\alpha}{2}}\cos{\frac{\alpha}{2}}}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}} \end{aligned}$$

余弦万能公式推导

$$\begin{aligned} \cos{\alpha} &= \cos{(\frac{\alpha}{2}+\frac{\alpha}{2})} \\ &= \cos^2{\frac{\alpha}{2}}-\sin^2{\frac{\alpha}{2}} \\ &= \frac{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}-\sin^2{\frac{\alpha}{2}}}{\cos^2{\frac{\alpha}{2}}+\sin^2{\frac{\alpha}{2}}} \\ &= \frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}} \end{aligned}$$

正切万能公式推导

$$\tan{\alpha}=\frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$

公式总结

$$\sin{\alpha}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$ $$\cos{\alpha}=\frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$ $$\tan{\alpha}=\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}$$

应用

正切与斜率

如图，带入 $\tan$ 的锐角三角函数的定义：

$$\tan{\theta}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

不难发现，$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 也是直线的斜率 $k$ 的计算公式。

所以一条倾斜角为 $\theta$ 的直线，斜率 $k=\tan{\theta}$。

$$k=\tan{\theta}=\frac{\Delta y}{\Delta x}$$

正弦定理

对于任意 $\triangle ABC$，有：

$$\frac{a}{\sin \angle A} = \frac{b}{\sin \angle B} = \frac{c}{\sin \angle C} = 2R$$

余弦定理

对于任意 $\triangle ABC$，有：

$$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$$ $$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$$ $$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$$

勾股定理 其实是 余弦定理 在一个角为 直角 时的特殊情况。

例如当 $\angle C = 90^\circ$ 时，有 $\cos \angle C=0$，即：

$$c^2 = a^2 + b^2$$

拓展

以下内容为 高中物理 或 大学数学 的内容，可作为扩展阅读。

反三角函数

$$\sin{(\arcsin x)}=x$$

• 反三角函数 - 维基百科
• 这个视频可能颠覆你对反三角函数的认识！ - bilibili

欧拉公式

$$e^{i\theta}=\cos{\theta}+i\sin{\theta}$$

• 【官方双语】微分方程概论-第五章：在3.14分钟内理解e^iπ - bilibili
• 用几何直觉理解欧拉公式！【中学生也能懂|manim】 - bilibili

双曲函数

$$e^{j\theta}=\cosh{\theta}+j\sinh{\theta}$$

• 双曲函数——带你领略课本上没有的神奇函数！ - bilibili
• 双曲正弦，余弦是如何得到的？有和正弦余弦有什么关系？|manim - bilibili

简谐运动

$$x=A\cos{(\omega t+\varphi)}$$

• 地球打穿一个洞，人跳进去会发生什么？李永乐老师讲简谐运动 - bilibili

傅里叶变换

$$F(\omega)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-i\omega x}dx$$

• 【官方双语】形象展示傅里叶变换 - bilibili
• 这个算法改变了世界 - bilibili