数学：求根公式（咕）

引入

在中学阶段，我们就学习了二次方程的求根公式，但至此以后就再也没有讲过高次方程的求根公式。

而 伽罗瓦理论 指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解，即五次方程没有求根公式。

那么，三次方程和四次方程的求根公式是什么呢？又是如何推导出来的？

tip

本文讨论的所有方程都是一元多项式方程，也就是说只有一个未知数。

代数基本定理

• 代数基本定理 - 维基百科

任何一个复系数多项式方程都至少有一个复数根。

这个定理另外的两种等价描述：

1. 任何一个 $n$ 次复系数多项式，都正好有 $n$ 个复数根（重根视为多个根）。
2. 任何一个 $n$ 次复系数多项式，都可以因式分解为 $n$ 个复系数一次多项式的乘积。

韦达定理

对于代数基本定理的第二种等价描述，我们不妨设多项式的 $n$ 个根分别为 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，此时多项式可以分解为：

$$a(x-x_1)(x-x_2)\cdots(x-x_n)=0\left(a \ne 0 \right)$$

其中 $a$ 为多项式的最高次项系数。

当 $x$ 为第 $i$ 个根时，第 $i$ 项为 $0$，方程成立。

通过这个定理可以轻松证明韦达定理。

一次方程

一般形式

$$ax+b=0\left(a \ne 0 \right)$$

求根公式

$$x=-\frac{b}{a}$$

二次方程

一般形式

$$ax^2+bx+c=0\left(a \ne 0 \right)$$

求根公式

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

推导过程

方程两边同时除以 $a$，使最高次项系数化为 $1$：

$$x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$$

两种方法

配方法

移项：

$$x^2+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$$

通过配方法，使方程左边变为一个式子的平方。

方程两边同时加上 $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$：

$$x^2+\frac{b}{a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\left(\frac{b}{2a}\right)^2$$

化简：

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$$

将平方转化为开根：

$$x+\frac{b}{2a}=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

移项：

$$x=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$$

换元法

对于一般的二次方程，如果注意力不够集中，很难用瞪出求根公式。

但如果没有一次项：

$$x^2+t=0$$

解方程就变得非常容易：

$$x=\pm\sqrt{-t}$$

所以我们可以通过换元法消除一次项。

令：

$$x\gets x-\frac{b}{2a}$$

代入：

$$\left(x-\frac{b}{2a}\right)^2+\frac{b}{a}\left(x-\frac{b}{2a}\right)+\frac{c}{a}=0$$

展开：

$$\left(x^2-\frac{bx}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\right)+\left(\frac{b x}{a}-\frac{b^2}{2 a^2}\right)+\frac{c}{a}=0$$

化简：

$$x^2+\frac{c}{a}-\frac{b^2}{4a^2}=0$$$$x=\pm\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$$

还原：

$$x=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}-\frac{b}{2a}$$

解得：

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ $$x_1=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

分类讨论

令判别式：

$$\Delta=b^2-4ac$$

若 $\Delta>0$，则有两个不等实数根：

$$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a},x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$$

若 $\Delta=0$，则有两个相等实数根：

$$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$$

若 $\Delta<0$，则有两个共轭复数根：

$$x_1=-\frac{b}{2a}+\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i,x_2=-\frac{b}{2a}-\frac{\sqrt{-\Delta}}{2a}i$$

warning

根的判别式不适用于非实系数的二次方程。

三次方程

一般形式

$$ax^3+bx^2+cx+d=0\left(a \ne 0 \right)$$

求根公式

推导过程

方程两边同时除以 $a$，使最高次项系数化为 $1$：

$$x^3+\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x+\frac{d}{a}=0$$

二次方程求根公式推导的核心，在于如何通过配方把平方转化为开根。

但三次方程无法直接配方，要先用换元法消除二次项。

令：

$$x\gets x-\frac{b}{3a}$$

为什么是 $-\frac{b}{3a}$？

设三次函数：

$$f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$$

求导法

求导，得到一个二次函数：

$$f'(x)=3ax^2+2bx+c$$

对于任意二次函数都是轴对称的，对称轴为：

$$x=-\frac{b}{3a}$$

所以任意三次函数都是中心对称的，对称中心为：

$$\left(-\frac{b}{3a},f\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$$

为了消除二次项，即 $-\frac{b}{3a}=0$，我们可以将函数平移 $-\frac{b}{3a}$，即：

$$x\gets x-\frac{b}{3a}$$

待定系数法

设：

$$x\gets x+t$$

代入方程：

$$\left(x+t\right)^3+\frac{b}{a}\left(x+t\right)^2+\frac{c}{a}\left(x+t\right)+\frac{d}{a}=0$$

展开：

$$\left(x^3+3tx^2+3t^2x+t^3\right)+ \left(\frac{bx^2}{a}+\frac{2btx}{a}+\frac{bt^2}{a}\right)+ \left(\frac{cx}{a}+\frac{ct}{a}\right)+ \frac{d}{a}=0$$

化简：

$$x^3+\left(3t+\frac{b}{a}\right)x^2+\left(3t^2+\frac{2bt}{a}+\frac{c}{a}\right)x+\left(t^3+\frac{bt^2}{a}+\frac{ct}{a}+\frac{d}{a}\right)$$

要让二次项系数 $3t+\frac{b}{a}=0$，所以：

$$t=-\frac{b}{3a}$$

代入：

$$\left(x-\frac{b}{3a}\right)^3+\frac{b}{a}\left(x-\frac{b}{3a}\right)^2+\frac{c}{a}\left(x-\frac{b}{3a}\right)+\frac{d}{a}=0$$

展开：

$$x^3+\left(\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2}\right)x+\left(\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}\right)=0$$

令：

$$p=\frac{c}{a}-\frac{b^2}{3a^2},q=\frac{2b^3}{27a^3}-\frac{bc}{3a^2}+\frac{d}{a}$$

此时方程的最高次项系数为 $1$，并消除了二次项：

$$x^3+px+q=0$$

分类讨论

根据 介值定理 三次方程至少有一个实数根：

介值定理：假设 $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ 为一连续函数。若一实数 $u$ 满足 $(f(a)-u)(f(b)-u)\le0$，则存在一实数 $c \in [a,b]$ 使得 $f(c)=u$。

四次方程

五次及以上方程

伽罗瓦理论指出，对于一般五次以及五次以上的方程，不存在一般的代数解。

资源推荐

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