一元积分学

参考资料

• 积分 - 维基百科
• 不定积分 - 维基百科
• 牛顿-莱布尼茨公式 - 维基百科

引入

积分 是 导数 的逆运算，几何上是 面积 的极限累加。一元积分学包含两条主线：

• 不定积分：求原函数，回答「谁的导数是它」。
• 定积分：求曲边梯形面积，是「无限细分再无限累加」的极限。

这两条主线看似无关——一个是「反求导」，一个是「求面积」——却被 牛顿-莱布尼茨公式 神奇地焊在一起，这正是微积分最深刻的发现。

不定积分

定义

若 $F'(x)=f(x)$，则 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个 原函数（Antiderivative）。$f(x)$ 的全体原函数：

$$\int f(x)\,\mathrm{d}x=F(x)+C$$

为什么要加 $+C$？因为常数求导为零，给原函数加任意常数后导数不变，所以原函数 成族出现、彼此相差一个常数。几何上，这一族曲线是同一条曲线上下平移得到的，处处斜率相同。求不定积分就是求出这一整族函数。

提示

求导是「机械」的——任何初等函数都有显式导数；但积分是「碰运气」的——许多形式简单的函数（如 $e^{-x^2}$、$\dfrac{\sin x}{x}$、$\dfrac{1}{\ln x}$）的原函数 无法用初等函数表示。这是积分比求导难的根本原因。

基本积分表

每一条都是某个求导公式「反着读」的结果，对照 导数与微分 的导数表记忆。

$$\int x^a\,\mathrm{d}x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C\,(a\ne -1),\quad \int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\ln|x|+C$$ $$\int e^x\,\mathrm{d}x=e^x+C,\quad \int a^x\,\mathrm{d}x=\frac{a^x}{\ln a}+C$$ $$\int\sin x\,\mathrm{d}x=-\cos x+C,\quad \int\cos x\,\mathrm{d}x=\sin x+C$$ $$\int\sec^2 x\,\mathrm{d}x=\tan x+C,\quad \int\csc^2 x\,\mathrm{d}x=-\cot x+C$$ $$\int\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\arctan x+C,\quad \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x=\arcsin x+C$$ $$\int\tan x\,\mathrm{d}x=-\ln|\cos x|+C,\quad \int\frac{1}{\sqrt{x^2\pm a^2}}\,\mathrm{d}x=\ln\left|x+\sqrt{x^2\pm a^2}\right|+C$$

三大积分法

方法	公式
第一类换元（凑微分）	$\int f(\varphi(x))\varphi'(x)\,\mathrm{d}x=\int f(u)\,\mathrm{d}u$
第二类换元	令 $x=\varphi(t)$，$\int f(x)\,\mathrm{d}x=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)\,\mathrm{d}t$
分部积分	$\int u\,\mathrm{d}v=uv-\int v\,\mathrm{d}u$

凑微分 是链式法则的逆用，核心是 看出某部分恰是另一部分的导数，把它「收」进微分号里。比如 $\int 2x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ 中，$2x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(x^2)$，于是积分变成 $\int e^{x^2}\,\mathrm{d}(x^2)=e^{x^2}+C$。常用凑法：$x\,\mathrm{d}x=\dfrac12\mathrm{d}(x^2)$、$\dfrac{1}{x}\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\ln x)$、$\dfrac{1}{\sqrt x}\mathrm{d}x=2\,\mathrm{d}(\sqrt x)$、$\cos x\,\mathrm{d}x=\mathrm{d}(\sin x)$。

例（凑对数）：$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x\ln x}$。$\dfrac{\mathrm{d}x}{x}=\mathrm{d}(\ln x)$，化为 $\int\dfrac{\mathrm{d}(\ln x)}{\ln x}=\ln|\ln x|+C$。

例（凑三角）：$\int\tan x\,\mathrm{d}x=\int\dfrac{\sin x}{\cos x}\,\mathrm{d}x=-\int\dfrac{\mathrm{d}(\cos x)}{\cos x}=-\ln|\cos x|+C$。

例（凑成 $\arctan$）：$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+2x+5}=\int\dfrac{\mathrm{d}(x+1)}{(x+1)^2+4}=\dfrac12\arctan\dfrac{x+1}{2}+C$。先配方 把分母凑成 $u^2+a^2$ 是这类题的通用前置步骤。

分部积分 是乘积求导法则的逆用，适合 两类不同函数相乘（如多项式乘指数、多项式乘三角、对数 / 反三角单独出现）。它把一个难积的积分换成另一个（希望更易积的）积分。

提示

分部积分选 $u$ 的口诀：反对幂三指（反三角、对数、幂、三角、指数），越靠前的越优先选作 $u$（求导后变简单的当 $u$，剩下的凑成 $\mathrm{d}v$）。

例（多项式乘指数）：$\int x e^x\,\mathrm{d}x$。按口诀取 $u=x$、$\mathrm{d}v=e^x\,\mathrm{d}x$：

$$\int x e^x\,\mathrm{d}x=x e^x-\int e^x\,\mathrm{d}x=x e^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$$

例（对数单独出现）：$\int\ln x\,\mathrm{d}x$。取 $u=\ln x$、$\mathrm{d}v=\mathrm{d}x$：

$$\int\ln x\,\mathrm{d}x=x\ln x-\int x\cdot\frac1x\,\mathrm{d}x=x\ln x-x+C$$

例（循环法）：$I=\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x$。两次分部后原积分 自己冒出来，移项即解：

$$\begin{aligned} I&=\int\sin x\,\mathrm{d}(e^x)=e^x\sin x-\int e^x\cos x\,\mathrm{d}x\\ &=e^x\sin x-\left(e^x\cos x+\int e^x\sin x\,\mathrm{d}x\right)=e^x(\sin x-\cos x)-I \end{aligned}$$

故 $2I=e^x(\sin x-\cos x)$，$I=\dfrac{e^x(\sin x-\cos x)}{2}+C$。两次分部要朝同一方向（都把 $e^x$ 凑进微分），否则会转回原样。

例（递推降幂）：$I_n=\int\sin^n x\,\mathrm{d}x$。拆 $\sin^n=\sin^{n-1}\sin$，对 $\sin x\,\mathrm{d}x=-\mathrm{d}(\cos x)$ 分部，得递推

$$I_n=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2}$$

由 $I_0=x$、$I_1=-\cos x$ 逐级降幂即可积出任意 $\sin^n x$。

特殊技巧

• 三角代换：消去根号。$\sqrt{a^2-x^2}$ 令 $x=a\sin t$；$\sqrt{a^2+x^2}$ 令 $x=a\tan t$；$\sqrt{x^2-a^2}$ 令 $x=a\sec t$。借助 $\sin^2+\cos^2=1$、$1+\tan^2=\sec^2$ 把根号「开」出来。
• 有理函数积分：先用 部分分式分解 把分式拆成简单分式之和，再逐项积。任何有理函数原则上都能这样积出。
• 三角有理式：万能代换 $t=\tan\dfrac{x}{2}$，把 $\sin x,\cos x$ 全部有理化。

部分分式分解算例

例：$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2-1}$。分母因式分解 $x^2-1=(x-1)(x+1)$，设

$$\frac{1}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$$

两边乘 $(x-1)(x+1)$ 得 $1=A(x+1)+B(x-1)$。代 $x=1$ 得 $A=\dfrac12$，代 $x=-1$ 得 $B=-\dfrac12$（「赋值法」：代入让某因子为零的点，瞬间定出系数）。于是

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{x^2-1}=\frac12\int\frac{\mathrm{d}x}{x-1}-\frac12\int\frac{\mathrm{d}x}{x+1}=\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$$

例（含不可约二次因子）：$\dfrac{x+1}{x(x^2+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{Bx+C}{x^2+1}$。通分对照得 $A=1,B=-1,C=1$，于是

$$\int\frac{x+1}{x(x^2+1)}\,\mathrm{d}x=\ln|x|-\frac12\ln(x^2+1)+\arctan x+C$$

不可约二次因子上方要配 一次式 $Bx+C$，积出来是「$\ln$ + $\arctan$」的组合。

三角代换算例

例：$\int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x$（$a>0$）。令 $x=a\sin t$（$t\in[-\frac\pi2,\frac\pi2]$），则 $\sqrt{a^2-x^2}=a\cos t$、$\mathrm{d}x=a\cos t\,\mathrm{d}t$：

$$\begin{aligned} \int\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm{d}x&=\int a\cos t\cdot a\cos t\,\mathrm{d}t=a^2\int\cos^2 t\,\mathrm{d}t\\ &=\frac{a^2}{2}\left(t+\frac{\sin 2t}{2}\right)+C=\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa+\frac{x\sqrt{a^2-x^2}}{2}+C \end{aligned}$$

最后用 $\sin 2t=2\sin t\cos t=\dfrac{2x}{a}\cdot\dfrac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$ 变量回代——三角代换收尾务必画直角三角形把 $t$ 换回 $x$。

万能代换算例

例：$\int\dfrac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}$。令 $t=\tan\dfrac x2$，则 $\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2}$、$\mathrm{d}x=\dfrac{2}{1+t^2}\,\mathrm{d}t$：

$$\int\frac{\mathrm{d}x}{1+\sin x}=\int\frac{\frac{2}{1+t^2}}{1+\frac{2t}{1+t^2}}\,\mathrm{d}t=\int\frac{2}{(1+t)^2}\,\mathrm{d}t=-\frac{2}{1+t}+C=-\frac{2}{1+\tan\frac x2}+C$$

万能代换 必能 把三角有理式化成有理函数，但常使式子变复杂；若被积函数关于 $\sin x$ 或 $\cos x$ 有特殊奇偶性，优先用更省力的凑微分。

定积分

定义

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\lambda\to 0}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)\Delta x_i$$

其中 $\lambda=\max\Delta x_i$。

定义本身就是一幅画面：把 $[a,b]$ 切成许多小段，每段用一个矩形 $f(\xi_i)\Delta x_i$ 近似那一条窄窄的曲边面积，全部加起来得到 黎曼和；让分割无限加密（$\lambda\to 0$），矩形阶梯逼近真实曲边，和的极限就是曲边梯形的精确面积。这就是「无限细分、无限累加」的全部含义。

性质

基本运算性质：

$$\int_a^b f\,\mathrm{d}x=-\int_b^a f\,\mathrm{d}x,\quad \int_a^a f\,\mathrm{d}x=0$$ $$\int_a^b(\alpha f\pm\beta g)\,\mathrm{d}x=\alpha\int_a^b f\,\mathrm{d}x\pm\beta\int_a^b g\,\mathrm{d}x$$ $$\int_a^b f\,\mathrm{d}x=\int_a^c f\,\mathrm{d}x+\int_c^b f\,\mathrm{d}x\quad\text{（区间可加性）}$$

保号性与估值：

• 若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge 0$，则 $\int_a^b f\,\mathrm{d}x\ge 0$；若 $f\le g$，则 $\int_a^b f\le\int_a^b g$。面积不会无中生有，被积函数大的积分也大。
• 估值定理：若 $m\le f(x)\le M$，则 $m(b-a)\le\int_a^b f\,\mathrm{d}x\le M(b-a)$。用最矮和最高的矩形把曲边面积夹住。
• $\left|\int_a^b f\,\mathrm{d}x\right|\le\int_a^b|f|\,\mathrm{d}x$。

对称区间的奇偶性（积分区间关于原点对称）：

$$\int_{-a}^{a}f(x)\,\mathrm{d}x= \begin{cases} 0, & f\text{ 为奇函数}\\ 2\displaystyle\int_0^a f(x)\,\mathrm{d}x, & f\text{ 为偶函数} \end{cases}$$

奇函数图像关于原点对称，左右两侧面积正负相消；偶函数关于 $y$ 轴对称，两侧面积相等。善用它能省去大量计算。

周期函数：若 $f$ 以 $T$ 为周期，则任取一个完整周期积分都相等：

$$\int_a^{a+T}f(x)\,\mathrm{d}x=\int_0^{T}f(x)\,\mathrm{d}x$$

积分中值定理

设 $f\in C[a,b]$，则 $\exists\xi\in[a,b]$ 使：

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=f(\xi)(b-a)$$

几何意义：曲边梯形的面积，总能用 一个等宽的矩形 精确替换，矩形的高 $f(\xi)$ 就是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的 平均值 $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,\mathrm{d}x$。换言之，连续函数在区间上一定能取到自己的平均值——曲线高低起伏，中间必有一处恰好等于平均高度。

牛顿-莱布尼茨公式

设 $F$ 是 $f$ 的原函数，$f\in C[a,b]$，则：

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a)$$

这是 微积分基本定理，它把「求面积」（定积分）和「反求导」（原函数）这两件本不相干的事画上等号，从而把定积分计算从「算极限和」转化为「找原函数、算两端差」。整个微积分的威力，很大程度上就来自这道公式。

变上限积分

$$\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t\Rightarrow \Phi'(x)=f(x)$$

把定积分的上限放开成变量 $x$，得到一个 新函数 $\Phi(x)$：它表示「从 $a$ 累积到 $x$ 的面积」。这个函数求导回到 $f$ 本身——说明 变上限积分天然就是一个原函数，这也正是微积分基本定理「积分与求导互逆」的源头，更是连 $e^{-x^2}$ 这类「积不出来」的函数也能保证原函数 存在 的依据。

复合形式（上下限都是函数时，链式法则配合）：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_{\varphi(x)}^{\psi(x)}f(t)\,\mathrm{d}t=f(\psi(x))\psi'(x)-f(\varphi(x))\varphi'(x)$$

例（变上限求导求极限）：$\lim\limits_{x\to 0}\dfrac{\int_0^x\sin t^2\,\mathrm{d}t}{x^3}$ 是 $\dfrac00$ 型，洛必达对分子用变上限求导公式：

$$\lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x\sin t^2\,\mathrm{d}t}{x^3}\xlongequal{\frac00}\lim_{x\to 0}\frac{\sin x^2}{3x^2}\overset{\sin x^2\sim x^2}{=}\frac13$$

定积分计算技巧

定积分常常 不必先求原函数，靠对称性、区间变换能直接出结果。

对称性与奇偶性

被积区间关于原点对称 $[-a,a]$ 时，先看被积函数的奇偶（见前文性质）。

例：$\displaystyle\int_{-1}^{1}\dfrac{x^2\sin x}{1+x^4}\,\mathrm{d}x$。被积函数是奇函数（分子 $x^2\sin x$ 奇、分母偶），故积分为 $0$，一步到位。

区间再现公式

令 $x\to a+b-x$ 做换元，积分值不变，得 区间再现（又称 King 性质）：

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\int_a^b f(a+b-x)\,\mathrm{d}x$$

把原式与代换后的式子 相加，常能让难算的部分对消。

例：$I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\sin x}{\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x$。令 $x\to\dfrac\pi2-x$，$\sin\leftrightarrow\cos$ 互换得 $I=\displaystyle\int_0^{\pi/2}\dfrac{\cos x}{\cos x+\sin x}\,\mathrm{d}x$。两式相加：

$$2I=\int_0^{\pi/2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}1\,\mathrm{d}x=\frac\pi2\Rightarrow I=\frac\pi4$$

点火公式（Wallis 公式）

$$\int_0^{\pi/2}\sin^n x\,\mathrm{d}x=\int_0^{\pi/2}\cos^n x\,\mathrm{d}x= \begin{cases} \dfrac{(n-1)!!}{n!!}\cdot\dfrac\pi2, & n\text{ 为偶数}\\[6pt] \dfrac{(n-1)!!}{n!!}, & n\text{ 为奇数} \end{cases}$$

口诀「偶数加 $\frac\pi2$、奇数不加」：$n$ 为偶才点上 $\dfrac\pi2$ 这把「火」。其中 $n!!$ 是双阶乘（隔一个相乘）。它由前面 $\sin^n$ 的递推公式代入上下限得到。

例：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\sin^6 x\,\mathrm{d}x=\dfrac{5!!}{6!!}\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{5\cdot3\cdot1}{6\cdot4\cdot2}\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{15}{48}\cdot\dfrac\pi2=\dfrac{5\pi}{32}$。

例：$\displaystyle\int_0^{\pi/2}\cos^5 x\,\mathrm{d}x=\dfrac{4!!}{5!!}=\dfrac{4\cdot2}{5\cdot3\cdot1}=\dfrac{8}{15}$（奇数不加 $\frac\pi2$）。

反常积分

把定积分推广到 无穷区间 或 无界函数，都靠取极限来定义；极限存在叫 收敛，否则 发散。

无穷区间

$$\int_a^{+\infty}f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

无界函数

若 $f$ 在 $x=c$ 处无界（瑕点）：

$$\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{\varepsilon\to 0^+}\left(\int_a^{c-\varepsilon}+\int_{c+\varepsilon}^b\right)$$

常用敛散性结论

$$\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\,:\, p>1\text{ 收敛};\quad \int_0^1\frac{1}{x^p}\,\mathrm{d}x\,:\, p<1\text{ 收敛}$$

提示

这两条记忆口诀：「无穷远处要衰减得够快、瑕点附近要爆得够慢」积分才收敛。 在 $+\infty$ 处，$\dfrac{1}{x^p}$ 衰减越快（$p$ 越大）越容易收敛，临界是 $p=1$；在 $0$ 这个瑕点附近，$\dfrac{1}{x^p}$ 爆得越慢（$p$ 越小）越容易收敛，临界也是 $p=1$。两边临界都卡在 $p=1$（即调和情形）发散，是个值得记住的分水岭。

比较判别法

判断反常积分敛散，常用 比较法——和已知的 $\dfrac{1}{x^p}$ 比大小：

• 比较判别法：若 $0\le f(x)\le g(x)$，则 $\int g$ 收敛 $\Rightarrow\int f$ 收敛；$\int f$ 发散 $\Rightarrow\int g$ 发散。
• 极限形式：若 $\lim\dfrac{f(x)}{g(x)}=l\,(0<l<+\infty)$，则 $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散。

实用做法是把被积函数与 $\dfrac{1}{x^p}$ 比较：在 $+\infty$ 处看「分母最高阶」定 $p$，在瑕点处看「奇性强弱」定 $p$，再对照上面的临界值。

例（无穷区间判敛）：$\displaystyle\int_1^{+\infty}\dfrac{\mathrm{d}x}{x^2+x}$。当 $x\to+\infty$ 时 $\dfrac{1}{x^2+x}\sim\dfrac{1}{x^2}$，取 $g=\dfrac{1}{x^2}$，极限 $\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{1/(x^2+x)}{1/x^2}=1\in(0,\infty)$，与 $p=2>1$ 的 $p$ 积分同敛散，故 收敛。

例（瑕积分判敛）：$\displaystyle\int_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}\,(1+x)}$，瑕点在 $x=0$。当 $x\to 0^+$ 时被积函数 $\sim\dfrac{1}{\sqrt x}=\dfrac{1}{x^{1/2}}$，对应 $p=\dfrac12<1$，故 收敛。判瑕积分只需看 瑕点附近 的奇性强弱。

$\Gamma$ 函数

阶乘向实数的推广是 $\Gamma$ 函数（Gamma Function）：

$$\Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}\,\mathrm{d}x\quad(s>0)$$

它是一个含参变量的反常积分，在 $s>0$ 时收敛。对 $\Gamma(s+1)=\int_0^\infty x^s e^{-x}\,\mathrm{d}x$ 分部积分可得 递推关系：

$$\Gamma(s+1)=s\,\Gamma(s),\qquad \Gamma(n+1)=n!\ (n\in\mathbb{N})$$

所以 $\Gamma$ 正是阶乘的连续版本。一个常用的特殊值是 $\Gamma\!\left(\dfrac12\right)=\sqrt\pi$，它等价于著名的 高斯积分：令 $x=t^2$ 得

$$\Gamma\!\left(\frac12\right)=\int_0^{+\infty}x^{-1/2}e^{-x}\,\mathrm{d}x=2\int_0^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt\pi$$

即 $\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t=\sqrt\pi$——它在概率论的正态分布里反复登场。

定积分的几何应用

定积分应用的统一思路是 微元法：在区间上取一小段 $[x,x+\mathrm{d}x]$，写出该微元对应的量 $\mathrm{d}A$（面积 / 体积 / 弧长……），再积分累加。关键是把「微元」近似成最规则的形状。

应用	公式
平面图形面积	$A=\int_a^b\lvert f(x)-g(x)\rvert\,\mathrm{d}x$
旋转体体积（绕 $x$ 轴）	$V=\pi\int_a^b f^2(x)\,\mathrm{d}x$
旋转体体积（柱壳法）	$V=2\pi\int_a^b x f(x)\,\mathrm{d}x$
曲线弧长	$L=\int_a^b\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm{d}x$
旋转曲面面积	$S=2\pi\int_a^b f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}\,\mathrm{d}x$

弧长公式来自勾股定理：一小段弧近似为斜边 $\sqrt{(\mathrm{d}x)^2+(\mathrm{d}y)^2}=\sqrt{1+f'^2}\,\mathrm{d}x$。绕 $x$ 轴旋转时，微元是半径 $f(x)$、厚 $\mathrm{d}x$ 的薄圆盘，体积 $\pi f^2\,\mathrm{d}x$。

例（两曲线围成面积）：$y=x^2$ 与 $y=\sqrt{x}$ 在 $[0,1]$ 上围成的面积。$\sqrt x\ge x^2$，故

$$A=\int_0^1(\sqrt x-x^2)\,\mathrm{d}x=\left[\frac23 x^{3/2}-\frac13 x^3\right]_0^1=\frac23-\frac13=\frac13$$

例（旋转体体积）：$y=\sin x$（$0\le x\le\pi$）绕 $x$ 轴旋转。用点火公式算 $\int_0^\pi\sin^2 x\,\mathrm{d}x=\dfrac\pi2$：

$$V=\pi\int_0^\pi\sin^2 x\,\mathrm{d}x=\pi\cdot\frac\pi2=\frac{\pi^2}{2}$$

定积分的物理应用

物理量同样用微元法：在每个小区间上把变化的量近似成常量，写出微元再积分。

• 变力做功：力随位置变化 $F(x)$，从 $a$ 到 $b$ 做的功为 $W=\int_a^b F(x)\,\mathrm{d}x$。弹簧、抽水、引力做功都是此型——把「力 × 距离」推广到「力随距离连续变化」。
• 液体侧压力：深度 $x$ 处压强 $p=\rho g x$，水平窄条受力 $\mathrm{d}P=\rho g x\cdot w(x)\,\mathrm{d}x$（$w(x)$ 为该深度处闸门宽度），总压力 $P=\int_a^b\rho g\,x\,w(x)\,\mathrm{d}x$。越深压强越大，故须逐层积分。
• 质心：密度为 $\rho(x)$ 的细杆，质心坐标

$$\bar x=\frac{\int_a^b x\,\rho(x)\,\mathrm{d}x}{\int_a^b\rho(x)\,\mathrm{d}x}$$

分子是 力矩（位置对质量的加权），分母是总质量，相除即「平衡点」。均匀情形退化为几何中点。