微分方程

参考资料

• 微分方程 - 维基百科
• 常微分方程 - 维基百科
• 线性微分方程 - 维基百科

引入

微分方程（Ordinary Differential Equation，ODE）是含 未知函数及其导数 的方程。求解就是反向地从「变化率」还原出 函数本身。

现实中我们常常先知道一个量「怎么变」（变化率所满足的规律），而不知道它「是什么」。比如「人口增长率正比于当前人口」「物体降温速度正比于温差」——这些都是关于变化率的陈述，写成方程就是微分方程。解方程，就是把这些「局部规律」积分成「全局函数」。

基本概念

• 阶：方程中出现的最高阶导数的阶数。
• 通解：含 $n$ 个相互独立任意常数的解（$n$ 为方程阶数）。这些常数对应「积分时丢失的信息」，每积一次分多出一个。
• 特解：通解中常数被初始条件确定后的具体解。
• 初值问题（Cauchy 问题）：方程 + 初始条件，恰好定出唯一特解。

直观理解：通解是 一整族曲线（积分曲线），初始条件相当于「钉一颗钉子」，从这族曲线里挑出穿过该点的那一条。$n$ 阶方程需要 $n$ 个条件才能完全钉死。

一阶 ODE

一阶方程是基本功，关键是 识别类型、套对方法。下面按「优先尝试的顺序」排列。

可分离变量

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f(x)g(y)\Rightarrow \int\frac{\mathrm{d}y}{g(y)}=\int f(x)\,\mathrm{d}x+C$$

这是最理想的情形：把 $x$ 和 $y$ 各自「分家」到等号两边，然后两边分别积分。所有一阶方程的求解，本质上都是想方设法 化归到可分离变量。

例：解 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=2xy$。分离变量 $\dfrac{\mathrm{d}y}{y}=2x\,\mathrm{d}x$，两边积分得 $\ln|y|=x^2+C_1$，即

$$y=Ce^{x^2}\quad(C=\pm e^{C_1}\in\mathbb{R})$$

注意分离时除以了 $y$，$y\equiv 0$ 也是解，恰好被 $C=0$ 涵盖。积分常数尽早合并、并回头检查被除掉的解是否被通解覆盖。

齐次方程

形如 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\varphi\!\left(\dfrac{y}{x}\right)$，右端只依赖比值 $\dfrac{y}{x}$。令 $u=\dfrac{y}{x}$（即 $y=ux$），则 $y'=u+x\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$，代入后变量恰好可分离。换元的着眼点是「右端只认比例」，所以引进比例当新变量。

例：解 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{y}{x}+\tan\dfrac{y}{x}$。令 $u=\dfrac yx$，$y'=u+xu'$，代入：

$$u+x\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=u+\tan u\Rightarrow \frac{\mathrm{d}u}{\tan u}=\frac{\mathrm{d}x}{x}$$

左边 $\int\cot u\,\mathrm{d}u=\ln|\sin u|$，积分得 $\ln|\sin u|=\ln|x|+C_1$，即 $\sin u=Cx$。回代 $u=\dfrac yx$ 得通解 $\sin\dfrac yx=Cx$。齐次方程换元后那个 $u$ 总能消去、剩下可分离的 $u$ 与 $x$。

一阶线性方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)$$

「线性」指 $y$ 和 $y'$ 都只出现 一次方、不相乘。$Q(x)\equiv 0$ 时叫 齐次（可分离变量），否则叫 非齐次。

通解公式：

$$y=e^{-\int P\,\mathrm{d}x}\left(\int Q(x)\,e^{\int P\,\mathrm{d}x}\,\mathrm{d}x+C\right)$$

这个公式可由 常数变易法（Variation of Constants）推出：先解齐次方程得 $y=Ce^{-\int P\,\mathrm{d}x}$，再把常数 $C$ 「变」成待定函数 $C(x)$ 代回原方程，解出 $C(x)$。「变易常数」的思想——拿齐次解当骨架、让常数随 $x$ 浮动以吸收非齐次项——在后面高阶方程里还会重现。

例：解 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+\dfrac{1}{x}y=\dfrac{\sin x}{x}$（$x>0$）。这里 $P=\dfrac1x$、$Q=\dfrac{\sin x}{x}$。积分因子 $\mu=e^{\int\frac1x\,\mathrm{d}x}=x$，方程两边乘 $x$ 后左边凑成 $(xy)'$：

$$(xy)'=\sin x\Rightarrow xy=-\cos x+C\Rightarrow y=\frac{C-\cos x}{x}$$

用积分因子时，乘 $\mu$ 后立刻把左边认成 $(\mu y)'$，比硬套通解公式更快、更不易错。

提示

记忆方式：「乘积求导」反推。把 $\mu(x)=e^{\int P\,\mathrm{d}x}$ 视为 积分因子，乘到方程两边后左侧恰是 $(y\cdot\mu)'$，于是方程变成 $(y\mu)'=Q\mu$，两边直接积分即可。积分因子的作用，就是把杂乱的左边「凑成一个导数」。

伯努利方程

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+P(x)y=Q(x)y^n\,(n\ne 0,1)$$

右端多了个 $y^n$，破坏了线性。令 $z=y^{1-n}$ 作换元，方程化为关于 $z$ 的一阶线性方程，再套上面的公式。这是「换元把非线性掰回线性」的典型。

例：解 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+y=y^2$（$n=2$）。令 $z=y^{1-2}=y^{-1}$，则 $z'=-y^{-2}y'$。原方程两边除以 $y^2$ 得 $y^{-2}y'+y^{-1}=1$，即

$$-z'+z=1\Rightarrow z'-z=-1$$

这是关于 $z$ 的一阶线性方程，积分因子 $e^{-x}$，解得 $z=1+Ce^{x}$，回代 $z=\dfrac1y$ 得通解 $y=\dfrac{1}{1+Ce^{x}}$。

全微分方程

$M(x,y)\,\mathrm{d}x+N(x,y)\,\mathrm{d}y=0$，若满足 恰当条件

$$\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}$$

则左端恰是某个二元函数 $u(x,y)$ 的全微分 $\mathrm{d}u$，原方程即 $\mathrm{d}u=0$，通解为 $u(x,y)=C$。直觉上，这说明该方程的积分曲线是某个「势函数」$u$ 的等高线。求 $u$ 的方法是把 $M$ 对 $x$ 积分、再用 $N$ 定出关于 $y$ 的待定部分。

例：解 $(2xy+1)\,\mathrm{d}x+(x^2+4y)\,\mathrm{d}y=0$。验恰当：$\dfrac{\partial M}{\partial y}=2x=\dfrac{\partial N}{\partial x}$，成立。把 $M$ 对 $x$ 积分（$y$ 暂当常数）：

$$u=\int(2xy+1)\,\mathrm{d}x=x^2y+x+\phi(y)$$

再用 $\dfrac{\partial u}{\partial y}=x^2+\phi'(y)=N=x^2+4y$ 定出 $\phi'(y)=4y$，即 $\phi(y)=2y^2$。故通解 $x^2y+x+2y^2=C$。

可降阶的高阶 ODE

高阶方程一般更难，但若缺了某些项，可以 换元降阶，化成会解的低阶方程。

形式	处理
$y^{(n)}=f(x)$	直接 $n$ 次积分
$y''=f(x,y')$（不显含 $y$）	令 $p=y'$，化为关于 $p$ 的一阶方程
$y''=f(y,y')$（不显含 $x$）	令 $p=y'$，$y''=p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$

两种换元的区别在于「方程里没有谁」：不显含 $y$ 时把 $p=y'$ 当成 $x$ 的函数；不显含 $x$ 时改把 $p$ 当成 $y$ 的函数（用链式法则把 $y''$ 改写成 $p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$），从而消掉缺席的自变量。

例（不显含 $y$）：解 $y''=y'+x$。令 $p=y'$，得一阶线性方程 $p'-p=x$。积分因子 $e^{-x}$，解得 $p=Ce^{x}-x-1$。再积分一次：

$$y=\int p\,\mathrm{d}x=C_1 e^{x}-\frac{x^2}{2}-x+C_2$$

例（不显含 $x$）：解 $yy''=(y')^2$。令 $p=y'$、$y''=p\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}$，代入得 $yp\dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}y}=p^2$。约去 $p$（$p\ne 0$）后分离变量 $\dfrac{\mathrm{d}p}{p}=\dfrac{\mathrm{d}y}{y}$，得 $p=C_1 y$，即 $y'=C_1 y$，再解得 $y=C_2 e^{C_1 x}$。

线性高阶 ODE

解的结构

$n$ 阶线性方程的解有一套漂亮的「叠加」结构，根源是 线性（解可以线性组合）。

二阶齐次线性方程 $y''+p(x)y'+q(x)y=0$：

• 若 $y_1,y_2$ 是两个 线性无关 解（即不成比例），则通解 $y=C_1y_1+C_2y_2$ 覆盖了全部解。两个独立解张成一个二维「解空间」。

二阶非齐次方程 $y''+py'+qy=f(x)$：

$$y=\underbrace{C_1y_1+C_2y_2}_{\text{齐次通解 }\bar y}+\underbrace{y^*}_{\text{一个特解}}$$

即 通解 = 对应齐次方程通解 + 任一特解。直觉：齐次通解负责「满足左端结构、含自由常数」，特解负责「顶住右端的 $f(x)$」，两者相加既匹配输入又保留自由度。

提示

叠加原理：若右端 $f=f_1+f_2$，可分别求 $f_1$、$f_2$ 对应的特解 $y_1^*$、$y_2^*$，则 $y_1^*+y_2^*$ 是 $f$ 的特解。复杂的非齐次项可以「拆开各个击破」。

常系数线性 ODE

系数为常数时，方程可以彻底求解——这是工程中最常用的一类（振动、电路、控制）。

二阶齐次

$$y''+py'+qy=0$$

由于 $e^{rx}$ 求导只是自乘 $r$，猜 $y=e^{rx}$ 代入，得到 特征方程：$r^2+pr+q=0$。它把微分方程的求解 降格成一道二次方程，根据判别式 $\Delta=p^2-4q$ 分三种情形：

$\Delta$	根	通解
$>0$	$r_1\ne r_2$ 相异实根	$y=C_1e^{r_1 x}+C_2e^{r_2 x}$
$=0$	$r_1=r_2$ 二重根	$y=(C_1+C_2 x)e^{rx}$
$<0$	$\alpha\pm\beta i$ 共轭复根	$y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

提示

三种情形对应三类物理行为：相异实根是 过阻尼（不振荡地衰减），重根是 临界阻尼（恰好不振荡），复根是 欠阻尼（衰减振荡，实部 $\alpha$ 管衰减、虚部 $\beta$ 管振荡频率）。复根情形用欧拉公式 $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 把复指数解拆成实的正余弦。

例（相异实根）：$y''-5y'+6y=0$，特征方程 $r^2-5r+6=(r-2)(r-3)=0$，根 $r=2,3$，通解 $y=C_1 e^{2x}+C_2 e^{3x}$。

例（重根）：$y''-4y'+4y=0$，特征方程 $(r-2)^2=0$，二重根 $r=2$，通解 $y=(C_1+C_2 x)e^{2x}$。重根时第二个解要 多乘一个 $x$，否则两个解线性相关。

例（共轭复根）：$y''+2y'+5y=0$，特征方程 $r^2+2r+5=0$，根 $r=-1\pm 2i$，即 $\alpha=-1,\beta=2$，通解 $y=e^{-x}(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x)$——衰减振荡。

非齐次特解（待定系数法）

当右端 $f(x)$ 是几类「好」函数时，特解形式可直接 照猫画虎地猜——因为这些函数求导后形态不变。

设 $f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$（$P_m$ 为 $m$ 次多项式），特解形式：

$$y^*=x^k e^{\lambda x}Q_m(x)$$

其中 $Q_m$ 是 同次 待定多项式，$k$ 是 $\lambda$ 作为特征根的重数（不是根则 $k=0$）。

若 $f(x)=e^{\lambda x}[P_l(x)\cos\omega x+Q_n(x)\sin\omega x]$，设 $m=\max(l,n)$：

$$y^*=x^k e^{\lambda x}[R_m(x)\cos\omega x+S_m(x)\sin\omega x]$$

$k$ 是 $\lambda+\omega i$ 作为特征根的重数。

自由项类型对应表（最常见情形）：

右端 $f(x)$	特解 $y^*$ 的待定形式
$P_m(x)$（多项式）	$x^k Q_m(x)$
$a\,e^{\lambda x}$	$x^k b\,e^{\lambda x}$
$a\cos\omega x+b\sin\omega x$	$x^k(A\cos\omega x+B\sin\omega x)$

提示

那个因子 $x^k$ 是关键、也最易漏。当猜测的指数 / 频率 恰好撞上特征根（发生「共振」），原始形式会被齐次解吸收、无法平衡右端，必须乘上 $x^k$ 把它「抬」出齐次解空间。$k$ 取撞上的重数：单根乘 $x$，重根乘 $x^2$。

例（不共振）：解 $y''-3y'+2y=2x$。齐次特征根 $r=1,2$，故齐次通解 $\bar y=C_1 e^x+C_2 e^{2x}$。右端是一次多项式、$\lambda=0$ 不是特征根（$k=0$），设 $y^*=ax+b$，则 $y^{*\prime}=a$、$y^{*\prime\prime}=0$，代入：

$$-3a+2(ax+b)=2x\Rightarrow 2a=2,\ -3a+2b=0\Rightarrow a=1,\ b=\frac32$$

故 $y^*=x+\dfrac32$，通解 $y=C_1 e^x+C_2 e^{2x}+x+\dfrac32$。

例（共振）：解 $y''-3y'+2y=e^{x}$。右端 $\lambda=1$ 恰是特征单根，故 $k=1$，设 $y^*=ax e^{x}$。求导代入（利用 $r=1$ 使一阶项归并）解得 $a=-1$，故 $y^*=-x e^{x}$，通解 $y=C_1 e^x+C_2 e^{2x}-x e^x$。漏掉那个 $x$ 会导致代入后恒等式两边对不上、解不出系数——这正是共振的信号。

欧拉方程

$$x^n y^{(n)}+a_1 x^{n-1}y^{(n-1)}+\dots+a_n y=f(x)$$

特点是 每一项里导数的阶数与 $x$ 的幂次相等。令 $x=e^t$（即 $t=\ln x$），可把它化为常系数线性 ODE，再用上面的方法求解。

例：解 $x^2 y''-x y'+y=0$（$x>0$）。直接试解 $y=x^r$：$y'=rx^{r-1}$、$y''=r(r-1)x^{r-2}$，代入约去 $x^r$ 得 特征方程

$$r(r-1)-r+1=r^2-2r+1=(r-1)^2=0$$

二重根 $r=1$。重根时第二个解补乘 $\ln x$（对应换元后 $t$ 域里的 $x$ 因子），故通解 $y=(C_1+C_2\ln x)x$。欧拉方程可直接代 $y=x^r$ 求特征方程，重根 / 复根的处理与常系数情形平行，只是把 $x$、$\ln x$ 当作对应的「指数 / 一次因子」。

建模直觉

微分方程真正的价值在于 从现实规律列方程。两个原型几乎涵盖所有入门模型：

• 指数增长 / 衰减：变化率正比于现有量，$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}=ky$，解为 $y=y_0e^{kt}$。$k>0$ 是增长（人口、复利），$k<0$ 是衰减（放射性衰变、冷却、药物代谢）。「越多增得越快 / 越多减得越快」的现象都归此型。
• 简谐振动：恢复力正比于位移且方向相反，$\dfrac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}t^2}+\omega^2 y=0$，解为 $y=A\cos(\omega t+\varphi)$。弹簧振子、单摆小角度、LC 电路都是它。加上阻尼项 $2\beta y'$ 就回到上面三种判别情形——阻尼大小决定振是不振。

例（放射性衰变 / 半衰期）：衰变率正比于现有量 $\dfrac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}=-\lambda N$，解 $N=N_0 e^{-\lambda t}$。半衰期 $T$ 满足 $\dfrac{N_0}{2}=N_0 e^{-\lambda T}$，取对数得 $T=\dfrac{\ln 2}{\lambda}$——半衰期只由衰变常数决定，与初始量无关。

例（RC 电路充电）：电源 $E$ 经电阻 $R$ 给电容 $C$ 充电，由基尔霍夫电压定律 $RC\dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+u=E$（$u$ 为电容电压），初值 $u(0)=0$。这是一阶线性方程，齐次解 $\propto e^{-t/(RC)}$、特解 $u^*=E$，故

$$u(t)=E\left(1-e^{-t/(RC)}\right)$$

电压从 $0$ 按指数曲线逼近电源电压 $E$，时间常数 $\tau=RC$ 决定快慢（约 $5\tau$ 后基本充满）。放电过程把 $E$ 换成 $0$，得 $u=u_0 e^{-t/(RC)}$ 的指数衰减。

例（简谐振动定振幅）：弹簧振子 $y''+\omega^2 y=0$，初条件 $y(0)=A_0$、$y'(0)=0$。通解 $y=C_1\cos\omega t+C_2\sin\omega t$，代入得 $C_1=A_0$、$C_2=0$，故 $y=A_0\cos\omega t$——从最大位移静止释放，做振幅 $A_0$、角频率 $\omega$ 的纯余弦振动。