无穷级数

参考资料

• 级数 - 维基百科
• 幂级数 - 维基百科
• 傅里叶级数 - 维基百科

引入

级数 是把数列「加起来」的极限，是处理 无限求和 的工具。三大主题：

• 数项级数：常数项的无穷和，研究敛散性。
• 幂级数：含 $x$ 的多项式级数，是函数展开的工具。
• 傅里叶级数：用三角函数展开周期函数。

「无穷多个数相加」并不天然有意义——加法只定义在有限项上。级数的全部工作，就是用 部分和的极限 给「无限相加」一个严格定义，再判断这个极限到底存不存在。

数项级数

定义

部分和 $S_n=\sum_{k=1}^n u_k$，若 $\lim_{n\to\infty}S_n=S$ 存在，则称级数 $\sum u_n$ 收敛，其和为 $S$；否则 发散。

关键在于：级数的收敛 完全等价于 它的部分和数列 $\set{S_n}$ 收敛。于是数项级数的所有问题，本质都是数列极限问题——只是换了一副「累加」的面孔。

必要条件

$$\sum u_n\text{ 收敛}\Rightarrow \lim_{n\to\infty}u_n=0$$

逆不成立——这是最关键的提醒。$\lim u_n=0$ 只是收敛的「入场券」，远不够保证收敛。反例是 调和级数 $\sum\dfrac{1}{n}$：通项趋于零，级数却发散到无穷（部分和 $\sim\ln n$）。它说明：项再小，只要小得不够快，累加起来仍能膨胀到无穷。这条必要条件最常见的用法是 逆否地判发散：若 $\lim u_n\ne 0$，立刻断定发散。

几何级数与 $p$ 级数

这两个是 比较判别的标尺，务必背熟。

$$\sum_{n=0}^{\infty}aq^n=\frac{a}{1-q}\quad(|q|<1\text{ 时收敛},\ |q|\ge 1\text{ 时发散})$$ $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\,:\quad p>1\text{ 收敛};\quad p\le 1\text{ 发散}$$

几何级数靠 公比 定生死：每项按固定比例缩小，缩得够快（$|q|<1$）就收敛。$p$ 级数靠 衰减幂次 定生死，临界恰在 $p=1$（调和级数），是一切「比快慢」的参照系。

正项级数判别

各项非负时，部分和单调递增，于是「收敛 $\iff$ 部分和有上界」（单调有界准则）。这让正项级数的判别格外系统——核心都是 和已知级数比增长速度。

方法	内容
比较判别法	$0\le u_n\le v_n$：$\sum v_n$ 收敛 $\Rightarrow\sum u_n$ 收敛；$\sum u_n$ 发散 $\Rightarrow\sum v_n$ 发散
比较极限形式	$\lim\dfrac{u_n}{v_n}=l\,(0<l<\infty)$：与 $\sum v_n$ 同敛散
比值（达朗贝尔）	$\rho=\lim\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$：$\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散
根值（柯西）	$\rho=\lim\sqrt[n]{u_n}$：$\rho<1$ 收敛，$\rho>1$ 发散
积分判别法	$f$ 单减正且 $u_n=f(n)$，$\sum u_n$ 与 $\int_1^{\infty}f(x)\,\mathrm{d}x$ 同敛散

提示

挑判别法的经验：

• 通项含 阶乘、$n$ 次幂（如 $\dfrac{n!}{n^n}$、$\dfrac{2^n}{n!}$）优先 比值法——相邻项一比，阶乘和幂大片约掉。
• 通项整体是 $n$ 次方（如 $\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n$）优先 根值法。
• 通项像 有理式 / 幂函数（如 $\dfrac{1}{n^2+1}$）优先 比较法，拿 $p$ 级数当标尺，比「最高阶」。
• 比值、根值法在 $\rho=1$ 时 失效（既不能判收敛也不能判发散），需改用别的方法。

例（比较法）：判 $\sum\dfrac{1}{n^2+n}$。通项 $\dfrac{1}{n^2+n}<\dfrac{1}{n^2}$，而 $\sum\dfrac{1}{n^2}$（$p=2>1$）收敛，由比较法 收敛。这里也可用裂项算出和：$\sum\dfrac{1}{n(n+1)}=\sum\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)=1$。

例（比较极限形式）：判 $\sum\sin\dfrac{1}{n}$。$n\to\infty$ 时 $\sin\dfrac1n\sim\dfrac1n$，与调和级数 $\sum\dfrac1n$ 同敛散，故 发散。取等价无穷小定标尺，是比较极限形式的常用前置。

例（比值法）：判 $\sum\dfrac{2^n}{n!}$。

$$\rho=\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}/(n+1)!}{2^n/n!}=\lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1}=0<1$$

故 收敛。带阶乘、指数的通项，相邻一比大片约掉——这是比值法的主场。

例（根值法）：判 $\sum\left(\dfrac{n}{2n+1}\right)^n$。

$$\rho=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n}=\lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1}=\frac12<1$$

故 收敛。整体是 $n$ 次方时，开 $n$ 次方一步到位。

例（积分判别法）：判 $\sum\dfrac{1}{n\ln n}$（$n\ge 2$）。取 $f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}$（正、单减），

$$\int_2^{+\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x\ln x}=\Big[\ln\ln x\Big]_2^{+\infty}=+\infty$$

积分发散，故级数 发散。这类「$\dfrac1n$ 再乘对数」的通项，比值根值都失效（$\rho=1$），积分判别法最利落。

任意项级数

项有正有负时，相消可能帮上忙，判别要换思路。

绝对收敛与条件收敛

• 若 $\sum|u_n|$ 收敛，称 $\sum u_n$ 绝对收敛；绝对收敛 $\Rightarrow$ 收敛（取绝对值后能收敛，说明级数「本质上」很稳，正负号只会让它更收敛）。
• 若 $\sum u_n$ 收敛但 $\sum|u_n|$ 发散，称 条件收敛——它的收敛纯靠 正负相消「续命」，一旦去掉符号就垮。典型如 $\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{n}$。

判任意项级数时，先查绝对收敛（对 $\sum|u_n|$ 用正项判别法），不行再看是否条件收敛。

莱布尼茨判别法（交错级数）

若 $u_n>0$ 单调递减 且 $\lim u_n=0$，则交错级数 $\sum(-1)^{n-1}u_n$ 收敛。

直觉：部分和像钟摆一样左右摆动，每次摆幅 $u_n$ 越来越小且趋于零，于是越摆越窄、夹逼到一个极限。两个条件「单调递减」「趋于零」缺一不可。

例：判 $\sum\dfrac{(-1)^{n-1}}{\sqrt n}$ 的敛散性与类型。$u_n=\dfrac{1}{\sqrt n}$ 单调递减且趋于零，由莱布尼茨判别法 收敛；但 $\sum|u_n|=\sum\dfrac{1}{\sqrt n}$（$p=\dfrac12<1$）发散，故是 条件收敛。任意项级数的标准流程：先查绝对（看 $\sum|u_n|$），再用莱布尼茨补判条件收敛。

幂级数

一般形式

$$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$$

幂级数可看作「无穷次多项式」。它的妙处在于：对每个固定的 $x$ 都是一个数项级数，于是「收不收敛」依赖 $x$——这就引出 收敛域 的概念。

收敛半径

$$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}$$

幂级数的收敛区域总是一个 以 $x_0$ 为中心的对称区间——这是幂级数特有的漂亮结构（用比值 / 根值法对变量 $x$ 一算便知）。$R$ 就是这个区间的半径：

• $|x-x_0|<R$ 内 绝对收敛；
• $|x-x_0|>R$ 外 发散；
• 端点 $x=x_0\pm R$ 处 单独代入判断（可能收敛、可能发散，比值根值法此时失效）。

确定 $R$ 后，把两个端点逐一代入化成数项级数判敛散，才能写出完整 收敛域。

例（求收敛域，含端点判定）：$\sum\dfrac{x^n}{n}$。$a_n=\dfrac1n$，收敛半径

$$R=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{n}=1$$

故 $|x|<1$ 收敛。再 逐一代入端点：

• $x=1$：$\sum\dfrac1n$ 是调和级数，发散。
• $x=-1$：$\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ 由莱布尼茨判别 收敛。

故收敛域为 $[-1,1)$——左闭右开。两端点必须分别代入判断，敛散常常不对称。

例（缺项级数）：$\sum\dfrac{x^{2n}}{2^n}$ 缺奇次项，直接套 $\dfrac{a_n}{a_{n+1}}$ 公式会出错，改用 对变量直接做比值法：$\lim\left|\dfrac{x^{2n+2}/2^{n+1}}{x^{2n}/2^n}\right|=\dfrac{x^2}{2}<1$，得 $|x|<\sqrt2$，即 $R=\sqrt2$。缺项幂级数一律回到「对 $x$ 直接用比值 / 根值」最稳。

运算性质

在收敛区间内，幂级数可 逐项求导 和 逐项积分，收敛半径不变（端点的敛散性可能改变）。

这是幂级数最实用的性质：它让一个「无穷和」可以像多项式一样自由地微分、积分。许多新展开式正是 从已知展开式逐项求导 / 积分 推出来的——比如对 $\dfrac{1}{1-x}=\sum x^n$ 逐项积分就得到 $\ln(1+x)$ 的展开。

和函数

幂级数在收敛域上定义了一个函数 $S(x)$，称 和函数。求和函数的常用招数：通过逐项求导 / 积分把陌生级数 凑成几何级数 $\sum x^n=\dfrac{1}{1-x}$，求出闭形式后再积 / 导回去。

例（逐项积分求和）：求 $S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{x^n}{n}$（$|x|<1$）。逐项求导把分母的 $n$ 消掉，凑成几何级数：

$$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}=\frac{1}{1-x}$$

再积回去，注意 $S(0)=0$：$S(x)=\displaystyle\int_0^x\dfrac{\mathrm{d}t}{1-t}=-\ln(1-x)$。求导消去 $n$、积分消去 $\dfrac1n$——分母 / 分子带 $n$ 时分别对应这两招。

例（逐项求导求和）：求 $S(x)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}$（$|x|<1$）。它正是 $\sum x^n=\dfrac{1}{1-x}$ 的逐项导数，故

$$S(x)=\left(\frac{1}{1-x}\right)'=\frac{1}{(1-x)^2}$$

由此还能算数项级数：取 $x=\dfrac12$ 得 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{n}{2^{n-1}}=\dfrac{1}{(1/2)^2}=4$。

函数展开为幂级数

反过来，把一个函数写成幂级数，用 泰勒级数：

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n$$

注意「能写出泰勒级数」和「级数真等于 $f$」是两回事——还需余项 $R_n\to 0$。实用中很少硬算各阶导数，而是 套用已知展开 + 变量代换 + 四则 / 逐项求导积分 来凑。

例（变量代换）：把 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 展成幂级数。在 $\dfrac{1}{1-t}=\sum t^n$ 里令 $t=-x^2$：

$$\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(-x^2)^n=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n x^{2n}\quad(|x|<1)$$

例（逐项积分得新展开）：对上式逐项积分（从 $0$ 到 $x$）得 $\arctan x$ 的展开：

$$\arctan x=\int_0^x\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}\quad(-1\le x\le 1)$$

代 $x=1$ 顺带得到著名的 莱布尼茨级数 $\dfrac\pi4=1-\dfrac13+\dfrac15-\dfrac17+\cdots$。新展开很少硬求导，多半是从已知式代换、求导、积分变出来的。

常用展开（参见 导数与微分）

$$\frac{1}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty}x^n\,(|x|<1),\quad e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$$ $$\sin x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$$ $$\ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}x^n}{n}\,(-1<x\le 1),\quad (1+x)^a=\sum_{n=0}^{\infty}\binom{a}{n}x^n$$

傅里叶级数

幂级数用 多项式 逼近函数，傅里叶级数改用 三角函数 逼近周期函数。思路彻底不同：把一个复杂的周期信号，分解成一系列不同频率的正弦、余弦波的叠加——这正是信号处理、声学、热传导的数学语言。

周期 $2\pi$ 函数

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$$

系数公式（欧拉-傅里叶公式）：

$$a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos nx\,\mathrm{d}x,\quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin nx\,\mathrm{d}x$$

提示

系数公式为什么长这样？因为 $\set{1,\cos nx,\sin nx}$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上 两两正交——不同频率的三角函数相乘再积分为零。于是想取出第 $n$ 个分量的「权重」$a_n$，只需把 $f$ 乘上 $\cos nx$ 再积分，其余分量都被正交性「滤掉」，只剩自己留下。这和用单位向量点积取坐标分量是同一回事。

周期 $2l$ 函数

把 $\pi$ 换成 $l$、频率相应缩放：

$$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos\frac{n\pi x}{l}+b_n\sin\frac{n\pi x}{l}\right)$$ $$a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x,\quad b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}\,\mathrm{d}x$$

狄利克雷收敛定理

若 $f$ 在 $[-l,l]$ 上 分段单调、只有有限多个间断点（狄利克雷条件），则其傅里叶级数处处收敛，且收敛于：

$$\frac{f(x^-)+f(x^+)}{2}$$

连续点处即收敛于 $f(x)$ 本身；间断点处收敛于 左右极限的平均值（在跳跃的「正中间」）。这是傅里叶级数与泰勒级数的一大区别：它对函数的光滑性要求很低，连带跳跃的方波都能展开。

奇偶函数与延拓

• $f$ 为 偶函数 $\Rightarrow b_n=0$，只剩余弦项（余弦级数）。
• $f$ 为 奇函数 $\Rightarrow a_n=0$，只剩正弦项（正弦级数）。

提示

记忆方式：$\sin nx$ 是奇函数，奇 $\times$ 偶 = 奇，奇函数在对称区间 $[-l,l]$ 上积分为 $0$，故偶函数的 $b_n=0$；对奇函数同理推出 $a_n=0$。

若函数只定义在半区间 $[0,l]$ 上，可人为 延拓 成周期函数再展开：

• 偶延拓：补成偶函数，展开成只含余弦的 余弦级数。
• 奇延拓：补成奇函数，展开成只含正弦的 正弦级数。

延拓的选择取决于需要——比如解一端固定的弦振动 / 热传导边值问题时，边界条件决定了该用正弦还是余弦延拓。

傅里叶展开算例

例（周期 $2\pi$ 函数）：把 $f(x)=x$（$-\pi<x<\pi$，按 $2\pi$ 周期延拓）展成傅里叶级数。$f$ 是 奇函数，故 $a_n=0$，只算 $b_n$：

$$b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}x\sin nx\,\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}x\sin nx\,\mathrm{d}x$$

分部积分（$u=x$、$\mathrm{d}v=\sin nx\,\mathrm{d}x$）：

$$\int_0^\pi x\sin nx\,\mathrm{d}x=\left[-\frac{x\cos nx}{n}\right]_0^\pi+\frac1n\int_0^\pi\cos nx\,\mathrm{d}x=-\frac{\pi\cos n\pi}{n}=\frac{(-1)^{n-1}\pi}{n}$$

故 $b_n=\dfrac{2(-1)^{n-1}}{n}$，得展开

$$x=2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{n}\sin nx\quad(-\pi<x<\pi)$$

在间断点 $x=\pi$（跳跃）处，级数收敛于左右极限平均值 $\dfrac{\pi+(-\pi)}{2}=0$，正与 $\sin n\pi=0$ 吻合，印证了狄利克雷收敛定理。

例（半区间正弦延拓）：把 $f(x)=1$（$0<x<\pi$）展成 正弦级数。作奇延拓后只有 $b_n$：

$$b_n=\frac{2}{\pi}\int_0^\pi 1\cdot\sin nx\,\mathrm{d}x=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-\cos n\pi}{n}=\frac{2}{\pi}\cdot\frac{1-(-1)^n}{n}$$

$n$ 为偶时为 $0$、$n$ 为奇时为 $\dfrac{4}{n\pi}$，故 $1=\dfrac4\pi\sum\limits_{k=0}^{\infty}\dfrac{\sin(2k+1)x}{2k+1}$（$0<x<\pi$）——这正是方波的傅里叶展开。

数项级数求和技巧

判完敛散，有时还要 求出和。除了借幂级数和函数（上文），常用三招。

裂项相消

把通项拆成 相邻两项之差，求和时中间大片对消，只剩头尾。

例：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+1)}=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+1}\right)$。部分和 $S_N=1-\dfrac{1}{N+1}\to 1$，故和为 $1$。

例：$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n(n+2)}=\dfrac12\sum\left(\dfrac1n-\dfrac{1}{n+2}\right)$。隔一项相消，留下 $\dfrac12\left(1+\dfrac12\right)=\dfrac34$。

错位相减

形如 $\sum n x^n$（等差 × 等比）的和，用 $S-xS$ 错开一位相减，把等差因子「磨平」成等比。

例：求 $S=\sum\limits_{n=1}^{N}n\,x^n$（$x\ne 1$）。

$$\begin{aligned} S&=x+2x^2+3x^3+\dots+Nx^N\\ xS&=\phantom{x+}\ x^2+2x^3+\dots+(N-1)x^N+Nx^{N+1}\\ S-xS&=x+x^2+\dots+x^N-Nx^{N+1}=\frac{x(1-x^N)}{1-x}-Nx^{N+1} \end{aligned}$$

故 $S=\dfrac{1}{1-x}\left[\dfrac{x(1-x^N)}{1-x}-Nx^{N+1}\right]$。当 $|x|<1$、$N\to\infty$ 时 $S\to\dfrac{x}{(1-x)^2}$，与前面逐项求导的结果一致。

Abel 求和

Abel 求和（Abel Summation，分部求和）是积分分部的离散版：把 $\sum a_n b_n$ 中一个因子换成它的部分和，重排求和次序。它常用来证 Dirichlet 判别法 / Abel 判别法——当 $\sum a_n$ 部分和有界、$b_n$ 单调趋零时，$\sum a_n b_n$ 收敛。莱布尼茨判别法正是它最简单的特例（取 $a_n=(-1)^{n-1}$，部分和在 $0,1$ 间有界）。