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线性方程组与向量组

参考资料​

引入​

线性方程组 是线性代数最早出现、也最实用的问题。本节把方程组和 向量组 放在一起研究，因为它们其实是同一件事的两种说法：

  • 方程组 Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b 是否有解   ⟺  \iff b⃗\vec b 能否被 AA 的列向量 线性表示。
  • 解的个数（唯一还是无穷）  ⟺  \iff AA 的列向量是否 线性相关。

把矩阵乘法 Ax⃗A\vec x 看成「AA 的各列以 x1,x2,…x_1,x_2,\dots 为权重的线性组合」，这条桥就立起来了：解方程组，就是找一组权重把 AA 的列向量「拼」成 b⃗\vec b。一切最终归结为 秩。

向量与向量组​

向量​

nn 维 列向量 α⃗=(a1,a2,…,an)T\vec\alpha=(a_1,a_2,\dots,a_n)^T，可以看成 Rn\mathbb R^n 空间里从原点出发的一个箭头，或一个点。

线性运算​

α⃗+β⃗,kα⃗\vec\alpha+\vec\beta,\qquad k\vec\alpha

加法是「箭头首尾相接」（平行四边形法则），数乘是「沿原方向伸缩」。这两种运算满足结合律、交换律、分配律。

线性组合与线性表示​

若存在数 k1,…,ksk_1,\dots,k_s 使

β⃗=k1α⃗1+k2α⃗2+⋯+ksα⃗s\vec\beta=k_1\vec\alpha_1+k_2\vec\alpha_2+\dots+k_s\vec\alpha_s

则称 β⃗\vec\beta 是 α⃗1,…,α⃗s\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s 的一个 线性组合，也说 β⃗\vec\beta 可由它们 线性表示。这恰好等价于方程组 (α⃗1,…,α⃗s)x⃗=β⃗(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)\vec x=\vec\beta 有解。

一组向量的所有线性组合构成的集合，叫它们 张成（Span）的空间 —— 这是后面「列空间」的来源。

线性相关与线性无关​

定义​

向量组 α⃗1,…,α⃗s\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s 称为 线性相关（Linearly Dependent），若存在 不全为零 的数 k1,…,ksk_1,\dots,k_s 使

k1α⃗1+k2α⃗2+⋯+ksα⃗s=0⃗k_1\vec\alpha_1+k_2\vec\alpha_2+\dots+k_s\vec\alpha_s=\vec 0

否则称 线性无关（Linearly Independent）。

提示

几何直觉一句话：线性相关 = 有「多余」的向量。

  • 两个向量相关，就是它们 共线（一个是另一个的倍数）。
  • 三个向量相关，就是它们 共面（挤在同一平面里，张不出三维体）。

线性无关，则每个向量都提供了一个「新方向」，谁都不能由其余的拼出来。判断相关性，本质是问「这堆向量真正撑起了几维空间」。

等价判定​

下面几句说的是同一件事：

α⃗1,…,α⃗s 线性相关  ⟺  至少一个向量能由其余线性表示  ⟺  r(α⃗1,…,α⃗s)<s\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s\ \text{线性相关}\iff\text{至少一个向量能由其余线性表示}\iff r(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)<s

反过来，线性无关   ⟺  \iff 矩阵 (α⃗1,…,α⃗s)(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s) 的秩 =s=s   ⟺  \iff 齐次方程组 (α⃗1,…,α⃗s)x⃗=0⃗(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)\vec x=\vec 0 只有零解。

重要结论​

  • 含 零向量 的向量组必线性相关。
  • 单个非零向量线性无关；两个向量相关当且仅当成比例。
  • 部分相关 ⇒\Rightarrow 整体相关；整体无关 ⇒\Rightarrow 部分无关。
  • n+1n+1 个 nn 维向量 必线性相关（向量个数超过维数，必有多余）。
  • 无关组每个向量「接长」分量后仍无关；相关组「截短」分量后仍相关。

极大无关组与秩​

极大线性无关组​

向量组 AA 的一个子组 A0=α⃗i1,…,α⃗irA_0=\vec\alpha_{i_1},\dots,\vec\alpha_{i_r} 若满足：

  1. A0A_0 本身线性无关；
  2. 从 AA 里再添任何一个向量进去都变成相关。

则称 A0A_0 是 AA 的 极大线性无关组（Maximal Linearly Independent Subset）。它是这组向量的「骨架」：剩下的向量都能由它线性表示，但它一个都不多余。极大无关组通常不唯一，但所含向量个数固定。

向量组的秩​

极大无关组中向量的个数，记为 r(α⃗1,…,α⃗s)r(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)，称为向量组的 秩。它等于由这些向量作列拼成的矩阵的秩：

r(α⃗1,…,α⃗s)=r((α⃗1,…,α⃗s))r(\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)=r\big((\vec\alpha_1,\dots,\vec\alpha_s)\big)

这就把「向量组的秩」和「矩阵的秩」彻底打通了 —— 它们是同一个数。

例：求向量组 α⃗1=(1,2,1)T\vec\alpha_1=(1,2,1)^T、α⃗2=(2,4,2)T\vec\alpha_2=(2,4,2)^T、α⃗3=(1,1,3)T\vec\alpha_3=(1,1,3)^T、α⃗4=(2,3,4)T\vec\alpha_4=(2,3,4)^T 的秩和一个极大无关组。把它们作 列 拼成矩阵，做初等行变换化行阶梯形：

(121224131234)→r2−2r1, r3−r1(121200−1−10022)→r3+2r2(121200−1−10000)\begin{pmatrix}1&2&1&2\\2&4&1&3\\1&2&3&4\end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-r_1} \begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&0&-1&-1\\0&0&2&2\end{pmatrix} \xrightarrow{r_3+2r_2} \begin{pmatrix}1&2&1&2\\0&0&-1&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}

非零行有 22 个，故秩为 22。主元落在 第 11、33 列，所以 α⃗1,α⃗3\vec\alpha_1,\vec\alpha_3 构成一个极大无关组。其余两个可由它们表示：从阶梯形看出 α⃗2=2α⃗1\vec\alpha_2=2\vec\alpha_1，而 α⃗4=α⃗1+α⃗3\vec\alpha_4=\vec\alpha_1+\vec\alpha_3（用 α⃗1+α⃗3=(2,3,4)T\vec\alpha_1+\vec\alpha_3=(2,3,4)^T 核对正是 α⃗4\vec\alpha_4）。这套「行变换定秩、主元列定骨架」的做法是求极大无关组的标准流程。

等价向量组​

两个向量组 A,BA,B 若能 相互线性表示，称为 等价。等价的向量组必 秩相同（但秩相同不一定等价）。

线性方程组​

一般形式​

Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b

AA 为 m×nm\times n 系数矩阵，b⃗\vec b 为 mm 维常数列。把 b⃗\vec b 拼到 AA 右边得到 增广矩阵 Aˉ=(A ∣ b⃗)\bar A=(A\,|\,\vec b)。b⃗=0⃗\vec b=\vec 0 时称 齐次，否则称 非齐次。

高斯消元法​

求解的通用算法：对 增广矩阵 Aˉ\bar A 做初等行变换，化成 行最简形，再直接读出解。每次行变换对应方程的等价变形（交换方程、方程乘非零数、一个方程加另一个的倍数），不改变解集。

化到行最简形后，主元所在列对应的变量叫 主变量，其余叫 自由变量。自由变量可任取，主变量由它们表出，自由变量的个数 =n−r(A)=n-r(A) 正是解的「自由度」。

解的判定​

情形条件解
无解r(A)≠r(Aˉ)r(A)\ne r(\bar A)不存在
唯一解r(A)=r(Aˉ)=nr(A)=r(\bar A)=n恰一组
无穷多解r(A)=r(Aˉ)<nr(A)=r(\bar A)<n含 n−rn-r 个自由变量
提示

记忆要点：先比 r(A)r(A) 与 r(Aˉ)r(\bar A) —— 不相等就 无解（b⃗\vec b 拼不进 AA 的列空间）。相等了再看它和未知数个数 nn 的关系 —— 等于 nn 唯一解，小于 nn 无穷多解。「r(A)r(A) 决定有没有约束，Aˉ\bar A 决定相不相容」。

齐次方程组 Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec 0 因为 b⃗=0⃗\vec b=\vec 0，永远 相容（至少有零解）。它有 非零解 的充要条件是 r(A)<nr(A)<n。

例（唯一解）：解 {x1+x2+x3=62x1+3x2+x3=11x1−x2+2x3=5\begin{cases}x_1+x_2+x_3=6\\2x_1+3x_2+x_3=11\\x_1-x_2+2x_3=5\end{cases}。对增广矩阵消元：

(1116231111−125)→r2−2r1, r3−r1(111601−1−10−21−1)→r3+2r2(111601−1−100−1−3)\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\2&3&1&11\\1&-1&2&5\end{array}\right) \xrightarrow{r_2-2r_1,\ r_3-r_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-1\\0&-2&1&-1\end{array}\right) \xrightarrow{r_3+2r_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&6\\0&1&-1&-1\\0&0&-1&-3\end{array}\right)

r(A)=r(Aˉ)=3=nr(A)=r(\bar A)=3=n，唯一解。回代：由末行 −x3=−3-x_3=-3 得 x3=3x_3=3；代入第 22 行 x2−x3=−1x_2-x_3=-1 得 x2=2x_2=2；代入首行得 x1=6−2−3=1x_1=6-2-3=1。解为 (1,2,3)T(1,2,3)^T。

例（无解）：解 {x1+x2+x3=12x1+2x2+2x3=3\begin{cases}x_1+x_2+x_3=1\\2x_1+2x_2+2x_3=3\end{cases}。r2−2r1r_2-2r_1 得 (11110001)\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)，末行翻译成 0=10=1，矛盾。此时 r(A)=1≠r(Aˉ)=2r(A)=1\ne r(\bar A)=2，无解——b⃗\vec b 不在 AA 的列空间里。

例（无穷多解）：解 {x1+x2+x3=22x1+x2−x3=1\begin{cases}x_1+x_2+x_3=2\\2x_1+x_2-x_3=1\end{cases}。消元化行最简形：

(111221−11)→r2−2r1(11120−1−3−3)→−r2, r1−r2(10−2−10133)\left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\2&1&-1&1\end{array}\right) \xrightarrow{r_2-2r_1} \left(\begin{array}{ccc|c}1&1&1&2\\0&-1&-3&-3\end{array}\right) \xrightarrow{-r_2,\ r_1-r_2} \left(\begin{array}{ccc|c}1&0&-2&-1\\0&1&3&3\end{array}\right)

r(A)=r(Aˉ)=2<n=3r(A)=r(\bar A)=2<n=3，有 n−r=1n-r=1 个自由变量。取 x3=tx_3=t 为自由变量，主变量 x1=−1+2tx_1=-1+2t、x2=3−3tx_2=3-3t，通解

x⃗=(−130)+t(2−31),t∈R\vec x=\begin{pmatrix}-1\\3\\0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}2\\-3\\1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb R

前一项是特解，后一项是对应齐次方程的解，正合「特解 ++ 齐次通解」的结构。

解的结构​

齐次方程组​

设 r(A)=r<nr(A)=r<n，则解集是一个 n−rn-r 维的子空间。能找到 n−rn-r 个 线性无关 的解 ξ⃗1,…,ξ⃗n−r\vec\xi_1,\dots,\vec\xi_{n-r}，它们构成 基础解系（Fundamental System of Solutions），通解是它们的任意线性组合：

x⃗=c1ξ⃗1+c2ξ⃗2+⋯+cn−rξ⃗n−r,ci∈R 任意\vec x=c_1\vec\xi_1+c_2\vec\xi_2+\dots+c_{n-r}\vec\xi_{n-r},\qquad c_i\in\mathbb R\ \text{任意}

基础解系就是解空间的一组 基，n−rn-r 就是它的维数。

例：求 {x1+x2−x3+x4=02x1+x2+x3−x4=0\begin{cases}x_1+x_2-x_3+x_4=0\\2x_1+x_2+x_3-x_4=0\end{cases} 的基础解系。系数矩阵化行最简形：

(11−11211−1)→r2−2r1(11−110−13−3)→−r2, r1−r2(102−201−33)\begin{pmatrix}1&1&-1&1\\2&1&1&-1\end{pmatrix} \xrightarrow{r_2-2r_1} \begin{pmatrix}1&1&-1&1\\0&-1&3&-3\end{pmatrix} \xrightarrow{-r_2,\ r_1-r_2} \begin{pmatrix}1&0&2&-2\\0&1&-3&3\end{pmatrix}

r(A)=2r(A)=2，自由度 n−r=4−2=2n-r=4-2=2。主变量是 x1,x2x_1,x_2，自由变量是 x3,x4x_3,x_4，由行最简形读出 x1=−2x3+2x4x_1=-2x_3+2x_4、x2=3x3−3x4x_2=3x_3-3x_4。分别取 (x3,x4)=(1,0)(x_3,x_4)=(1,0) 和 (0,1)(0,1)，得两个线性无关的解：

ξ⃗1=(−2310),ξ⃗2=(2−301)\vec\xi_1=\begin{pmatrix}-2\\3\\1\\0\end{pmatrix},\qquad \vec\xi_2=\begin{pmatrix}2\\-3\\0\\1\end{pmatrix}

通解为 x⃗=c1ξ⃗1+c2ξ⃗2\vec x=c_1\vec\xi_1+c_2\vec\xi_2。代回原方程可验证 ξ⃗1,ξ⃗2\vec\xi_1,\vec\xi_2 都满足，且二者不成比例、确实线性无关。

非齐次方程组​

设 Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b 相容。它的通解 = 对应齐次方程 Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec 0 的通解 + 任一个特解 η⃗∗\vec\eta^*：

x⃗=η⃗∗+c1ξ⃗1+c2ξ⃗2+⋯+cn−rξ⃗n−r\vec x=\vec\eta^*+c_1\vec\xi_1+c_2\vec\xi_2+\dots+c_{n-r}\vec\xi_{n-r}

道理很直接：若 η⃗1,η⃗2\vec\eta_1,\vec\eta_2 都是非齐次的解，则 A(η⃗1−η⃗2)=b⃗−b⃗=0⃗A(\vec\eta_1-\vec\eta_2)=\vec b-\vec b=\vec 0，差是齐次解。所以全体非齐次解 = 一个特解再加上所有齐次解。

提示

这与 微分方程 中「线性 ODE 解的结构」完全同构：非齐次通解 = 齐次通解 + 特解。这并非巧合，而是 线性算子 理论的统一表述 —— 凡是线性映射 LL，方程 L(x)=bL(x)=b 的解集都长这个样子。

几何直观​

把解集放回空间里看，结构一目了然：

  • 齐次方程组的解集 { x⃗:Ax⃗=0⃗ }\set{\vec x:A\vec x=\vec 0} 是一个 过原点 的子空间（一条过原点的直线、一张过原点的平面……），维数为 n−rn-r。
  • 非齐次方程组的解集是它的一个 平移：把齐次解空间整体挪到特解 η⃗∗\vec\eta^* 上，得到一个 不过原点 的 仿射子空间。

所以「特解 ++ 齐次通解」就是「先定一个落点，再沿解空间自由滑动」。两个平面相交得一条直线、三个平面交于一点，这些中学几何场景，都是方程组解结构的特例。

向量空间初步​

向量空间​

Rn\mathbb R^n 是最常见的 向量空间（Vector Space）：对加法、数乘 封闭，且满足结合、交换、分配等 八条公理。直观上它就是「能自由做线性组合的场所」。

子空间​

Rn\mathbb R^n 的非空子集 WW 若对加法和数乘也封闭，就称为 子空间（Subspace）。子空间必过原点。和矩阵相关的两个重要子空间：

  • 零空间（Null Space，解空间）：齐次方程 Ax⃗=0⃗A\vec x=\vec 0 的全体解，维数 =n−r(A)=n-r(A)。
  • 列空间（Column Space）：AA 的列向量张成的空间，等于 b⃗\vec b 使 Ax⃗=b⃗A\vec x=\vec b 有解的全部取值，维数 =r(A)=r(A)。

由此得到 秩-零化度定理：r(A)+dim⁡(零空间)=nr(A)+\dim(\text{零空间})=n，正是「主变量 + 自由变量 = 总变量数」的几何版本。

基、维数、坐标​

  • 基（Basis）：子空间的一个极大无关组 —— 既能张成整个空间，又互相独立。
  • 维数（Dimension）：基中向量的个数，是空间「有几个独立方向」的度量。
  • 坐标（Coordinate）：向量在某组基下的表示系数。选定基后，抽象向量就和一串具体数字一一对应。

同一个向量在不同基下坐标不同，两组基之间通过 过渡矩阵（基变换矩阵）换算。这个「换基」的思想，正是 特征值与相似矩阵 里相似变换的几何内核。

例（求坐标）：在 R2\mathbb R^2 里取一组基 β⃗1=(1,1)T\vec\beta_1=(1,1)^T、β⃗2=(1,−1)T\vec\beta_2=(1,-1)^T，求向量 γ⃗=(3,1)T\vec\gamma=(3,1)^T 在这组基下的坐标。即解 x1β⃗1+x2β⃗2=γ⃗x_1\vec\beta_1+x_2\vec\beta_2=\vec\gamma：

{x1+x2=3x1−x2=1⇒x1=2, x2=1\begin{cases}x_1+x_2=3\\x_1-x_2=1\end{cases}\Rightarrow x_1=2,\ x_2=1

故 γ⃗\vec\gamma 在基 { β⃗1,β⃗2 }\set{\vec\beta_1,\vec\beta_2} 下的坐标是 (2,1)T(2,1)^T，即 γ⃗=2β⃗1+β⃗2\vec\gamma=2\vec\beta_1+\vec\beta_2。

例（过渡矩阵）：从基 B1={ e⃗1,e⃗2 }B_1=\set{\vec e_1,\vec e_2}（标准基）换到 B2={ β⃗1,β⃗2 }B_2=\set{\vec\beta_1,\vec\beta_2}。过渡矩阵 PP 的列就是 新基向量在旧基下的坐标，所以 P=(β⃗1,β⃗2)=(111−1)P=(\vec\beta_1,\vec\beta_2)=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}。它把「B2B_2 下的坐标」换算成「B1B_1 下的坐标」：若向量在新基下坐标为 y⃗\vec y，则在旧基（即原始分量）下为 x⃗=Py⃗\vec x=P\vec y。验证 y⃗=(2,1)T\vec y=(2,1)^T 时 Py⃗=(111−1)(21)=(31)=γ⃗P\vec y=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}=\vec\gamma，与上一例一致。反向换算用 y⃗=P−1x⃗\vec y=P^{-1}\vec x。